███████████████████

Die ███████████████████ wurde ████ vom ████████████ █████ ██████ ███████████ und ██████████ eine █████████ ████ die ███████████ des ██████████, das █████ der █████ der ███████ ██████. ██████ ███████ hat sich nach einer ██████ ██████████, die bis in die ██████ █████ ████████████, als nicht ████████████ ██████████████, das █████, die ██████ der ███████████ ████████ in ██████ █████ █████ ████████████.

███████

████████ ███████████████████

Die ██████████ ████████ ███████████████████ ██ (████████ █████████ ██████████) ██████:

Es ████ █████ ██████████████ █████ ███████ ██████, deren ███████████ ███████ ist als die der █████ aller ███████ ██████.

██████ ███████████:

Es ████ █████ █████, deren ███████████ zwischen der ███████████ der ███████████ ██████ und der ███████████ der ███████ ██████ █████.

Oder:

████ ██████████ █████████

M

von

\mathbb {R}

ist entweder █████████████ zu

\mathbb {R}

oder zu

\mathbb {N}

(in ██████ ████ von ████ █████ und █████ █████████).

██████████ ███, wie ██████, die ████████████ (███████████) der ███████████ ██████ $\mathbb {N}$ mit $\aleph _{0}$ (█████ █████-████████), die ██████████████ ████████████ mit $\aleph _{1}$ und die ████████████ der ███████ ██████ mit ${\mathfrak {c}}$ , so █████ die ███████████████████ ██████:

{\mathfrak {c}}=\aleph _{1}

██████ kann ███ ██████, dass die ███████████ des ██████████ mit der mit $2^{\aleph _{0}}$ ████████████ ███████████ der ███████████ von $\mathbb {N}$ █████████████. Eine ██████ █████████████ ████████████ der ███████████████████ ██████ daher

2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}

████████████████ ███████████████████

Die ████████████████ ███████████████████ (███, ████████ ███████████ █████████ ██████████) ██████, dass ███ ████ ██████████ █████ $X$ █████████ ████:

Ist

Y

eine █████████ von

X

, die zu einer █████████ der ███████████

{\mathcal {P}}(X)

von

X

█████████████ ist, so ist

Y

X

oder zu

{\mathcal {P}}(X)

█████████████.

Hat ███ auch das ████████████ zur █████████, so hat ████ █████ eine ████████████ als ███████████, und die ████████████████ ███████████████████ ██████, dass ███ ████ ██████████ █████ $X$ ████:

Zwischen den ██████████████

|X|

und

|{\mathcal {P}}(X)|

█████ █████ ███████ ████████████.

█████████ ███ die █████-████████, so ████████ ████:

███ ████ ███████████

\alpha

████

2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}

███████ der ████-████████ █████ sich das ████ █████████ █████████:

███ ████ ███████████

\alpha

████

\aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }

Da die █████ ████████████ ████ ████████████ █████████, sind die █████████████ █████████ █████████. ███████████ █████ in der ███████-████████-███████████ (██) aus der ██████ █████████ ████████████ der █████████████████ ███████████████████ nach einem ████ von ██████████ das ████████████. Daher sind die █████████ ██████████████ vor dem ███████████ der ██-███████████ ██████████.

██████████████ von ███

████ █████ ██████ ████, dass die ███████████████████ (██) zur ███████-████████-███████████ mit ████████████ (███) ███████ ████████████████ ist. Das █████: ████ ███ ████████████████ ist, ███ █████████ ██████████ wird, aber nach dem ██████████ ██████████████████████ nicht mit █████ von ███ ████████ werden kann, dann ist auch „███ + ██“ ████████████████. Dazu hatte █████ █████████ der ███-███████████ die ██████████ $L$ der ███████████ ███████████████ ██████ ██████████ und ██████ ██████, dass in $L$ █████████ alle ██████ der ███████████ ██████, aber ███████ ██████ auch die ███████████████████ ███████ ist. Das ████████:

Aus der ███████-████████-███████████ █████ sich die ███████████████████ nicht ██████████.

In den ██████ ██████ ██████ ████ █████ mit █████ der ███████-███████:

Aus der ███████-████████-███████████ █████ sich die ███████████████████ nicht ████████.

██████ ███████████: Auch die ████████ der ███████████████████ ist zu ███ ███████ ████████████████; die ███████████████████ ist also █████████ ██████████ von ███. ███ ██████ ██████ ███████ █████ ████ die ██████-████████.

Daher kann die ███████████████████ im ██████ der ██████████████ der ███████████ █████ ████████ ████ █████████ werden. ███ kann, ebenso ███ wie ████ ████████, als █████ █████ █████████ werden. Damit ist ███ eines der ██████ ██████████ █████████ ███ ██████ ██████ ██████████████████████.

Die ████████████████ ███████████████████ ist █████████ ██████████ von der ███████-████████-███████████ mit ████████████ (███). ████ █████ ██████ aus der ███████████, dass die ██████████ von ██ ja ████ █████ eine ██████████ von ███ ist und in ██████ ███████████████ █████████ $L$ █████ ███ ████. Der ████ von ██████ ████████ die █████████████ ███ die ████████ ████████████, ███ die die ████████████████ ███████████████████ zum ██████ ███ ████████ ist, ein. Der ████ von ██████ █████, dass die ████████████████ ███████████████████ ███ ████████ ██████████████ in ██████ ██████████ █████ ████████ werden kann.

█████████

In der █████████ █████ von ██ ██████████████ █████████, die █████ ███████ dem ███████████████ ████████████████████ ████ in █████ ███████, █████ die ███████████████████ an ██████ ██████. █████ ████████████ ██████ im ██████ ██████ ████████ ██████████ █████████ ███████████, █████ █████ der █████ ███████████ ████████████ ███████████ ██████ sich um die ███████████████████.

Da die ███████ ██████ eine ███ █████ ██████████████ ████████████ ████████████ ██████████ und da ████████████ ████████████ ███████████ den ████████ ███████, die ████████████ zu ███████████, war das ███████████████████████████ ██████████████. Nach dem ██████ der ██████████████ wurden die ████████ ███████████, durch ██████████ █████████ ███████████ ██████ zur ███ die ███████████████████ doch ████ zu ███████████, zum ████████ durch ██████, die die ████████ ██████ ██████████████ ███████████. Auch █████ war davon █████████, dass sich die █████████ so ██████████ █████. In den ██████ ██████ ██████ der █████████████████ ███████ ████ ██████, █████████ gegen die ██████████ der ███████████████████ ████████ zu haben. ██████ ██████ er sich von ██████ ██████████ ab und ████████████ ein ██████ ███ ██████████████, das er ████████ L ██████, in █████████ an ██████ ███████████████ █████████ $L$ . In ██████ █████████ ist die ████████████████ ███████████████████ ████.

███████████████████

████████████ werden ████████ unter der ███████ ███████, dass die ███████████████████ ████ sei. So ███████ sich ██████████████ bei der ████████████ von ██████████████ mit der ███ als █████████████ ██████████ ███████████████. Es ist ██████ ██████, █████ █████████████ dann ████████ zu ████████, ███████ die ██████████ des ███-██████████████ oder ████████████ ███████ in der █████ █████████ ██████.

████████ aus der ██████████

Im █████████ sei die ███████████████████ (und das ████████████) als ████ ██████████ und es wird mit █████ █████ eine nicht ████████ █████████ der █████ $\mathbb {R} ^{2}$ ███████████. ███ ███████, dass ████ auch ohne ███████████████████ (aber mit ████████████) ███████ ist.

Sei $\omega _{1}$ die ████████ ██████████████ ███████████. Nach der ███████████████████ ████ es dann eine █████████ $T\colon [0,1]\to \omega _{1}$ . Die ████████ ███████ $<$ auf $\omega _{1}$ █████ mit █████ ██████ █████████ auf $[0,1]$ ██████████: ███ $x,y\in [0,1]$ █████: $x\prec y:\Leftrightarrow T(x)<T(y)$ .

Es sei $A:=\{(x,y)\in [0,1]\times [0,1]\mid x\prec y\}$ . Mit $1_{A}$ ██████████ ███ die █████████████████ der █████ $A$ , also $1_{A}\colon [0,1]\times [0,1]\to \{0,1\}$ mit $1_{A}(x,y)=1$ █████ dann, ████ $x\prec y$ .

███ █████ $y\in [0,1]$ sei $A_{y}:=\{x\in [0,1]\mid x\prec y\}$ . █████ █████ ist ███ █████ $y$ █████████, da $T(y)$ als ██████████ ███████████ ███ █████████ █████ █████████ hat. ████████████ ist daher $A_{y}$ █████ eine ████████-█████████: $\lambda (A_{y})=0$ .

██████ ██████████ ███ ███ █████ $x\in [0,1]$ die █████ $A^{x}:=\{y\in [0,1]\mid x\prec y\}$ ; das ██████████ █████ ██████ ██████ ist █████████, █████ ████ $\lambda (A^{x})=1$ .

█████ ███ an, dass $1_{A}$ ███████ ist, so ████ unter ██████████ des ████████-█████████ und des ████████-█████ $\lambda$

\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1_{A}(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\lambda ({A_{y}})\,\mathrm {d} y=0,

aber

\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1_{A}(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\lambda ({A^{x}})\,\mathrm {d} x=1.

Die ████████ $1_{A}$ ist also eine ████████, die nach dem ████ von ███████ nicht ████████-███████ sein kann, die █████ $A$ ist damit auch nicht ███████.

████████ aus der █████████████████

███ ██████████ ████████ ${\mathcal {F}}$ ██████ ██████████, also ███████ ██████████ $\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ , die sich auf ████ $\mathbb {C}$ durch eine ███████████ ███████████ ██████████ ██████. Mit █████ des ████████████████ kann ███ ████████ ███████ ██████:

(█): Ist die █████ der █████

\{f(z)\mid f\in {\mathcal {F}}\}

███ █████

z\in \mathbb {C}

endlich, so ist

{\mathcal {F}}

endlich.

███ ███████, dass in der ██████████ die ████████ $f$ ████████ und der █████ $z$ ████ ist, die ██████████ und auch die ██████ █████ ████████ █████ von $z$ ab. ███ ███████ ███ die █████, ob █████ ███████ ███████ ██████, ████ ███ „endlich“ durch „█████████“ ████████ und ██████ also nach der ██████████ von

(█): Ist die █████ der █████

\{f(z)\mid f\in {\mathcal {F}}\}

███ █████

z\in \mathbb {C}

█████████, so ist

{\mathcal {F}}

█████████.

████ █████ ████ ████████ █████████████ ███████:

Die ███████ (█) ist █████ dann ███ ████ ███████ ██████ ██████████ ████, ████ die ███████████████████ (██) ██████ ist.

████████ aus der █████████

██████ ██████████ ██████ die ██████████ der ███████████████████ zu ██████ der ███████████ █████████:

Es ████ eine █████████ des $\mathbb {R} ^{3}$ als $\mathbb {R} ^{3}=A\cup B\cup C$ , █████ $A, B, C$ ███████ ████████ █████████████ mit █████ ██████████ zu den █████████████████ $x, y$ ███. $z$ haben – also $A$ mit ██████████ zur $x$ -█████, $B$ mit denen zur $y$ -█████ und $C$ mit denen zur $z$ -█████ (██████████ ████).
Es ████ eine █████████ des $\mathbb {R} ^{2}$ in ████ ██████ $A, B$ , █████ $A$ die ██████████ (die ██████████ zur $y$ -█████) und $B$ die ████████████ (die ██████████ zur $x$ -█████) in █████████ █████████ █████████ ██████ ███████ █████████ (██████████ ████). Oder in der ████████████ von ██████████ in ██████ ████ ████ die ███████████████████: Die ██████████████████ ist ██████████ zu dem ████ Die █████ der ██████ der █████ ist die █████ ██████ ██████ $A, B$ , █████ $A$ █████████ durch die █████ der █████████ und $B$ durch die der █████████ █████████ werden kann.

█████████

████ █████: ███ ███████████ ██ ███ █████ ██ ██████ ███ ██ ███ ███████████ █████████-██████████ ████ ███ ██████ ██ ███ ██████ (= ██████ ██ ███████████ ███████. ██. █). █████████ ██████████ █████, █████████ ██ u. a. ████.
████ █████: ████ ██ ██████’s █████████ ███████? In: ████████ ████████████ ███████. ██. ██, ████, ████ ████-████, S. ███–███; ██. ██, ████, S. ███: ██████.
████ J. █████: ███ ██████ ███ ███ █████████ ██████████. ████████, ███████ ██ ████ (████ a ███ ████████████ ██ ██████ █████. █████ ████████████, ███████ ██ ████, ████ ███-█-███-█████-█).
███████ █████: ███ ██████ (= ███████ in █████ ███ ███ ███████████ ██ ███████████. ██. ███). █████-███████ ██████████, █████████ u. a. ████, ████ █-███-█████-█, ███████ ██, ███████ ███ § █ f.
███ █████: ██████████ █████. Eine ██████████. ████████-██████, ██████ ████, ████ █-██-██████-█, S. ███–███ (im ████████████ mit ██████████████).
████-████ ████████: Wie ████ ist das ██████████? In: ████████ der ████████████. ████ ████, ████ ████-████, S. ██–██.