█████████████████

█████████

Eine █████████ ${\displaystyle \mathcal{C}}$ ███████ aus █████████:

• Einer ██████ ${\displaystyle \mathrm{Ob}(\mathcal{C})}$ von ████████.
• Einer ██████ von ███████████ ███████ oder ██████████. Ein ██████████ ist ein ███████ einer ██████ ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}}_{\mathcal{C}}(X,Y),}$ die es zu █████ ████ ${\displaystyle (X,Y)}$ von ████████ ████ (auch mit ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}}_{\mathcal{C}}(X,Y)}$ , ${\displaystyle [X,Y{]}_{\mathcal{C}}}$, ${\displaystyle \mathcal{C}(X,Y)}$ oder ${\displaystyle (X,Y{)}_{\mathcal{C}}}$ ██████████). █████ ███████ sind █████████ ████████, d. █. ████ ██████████ ${\displaystyle f\in \mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(X,Y)}$, auch ${\displaystyle f:X\to Y}$ ███████████, ist ███████ einer ███████ ████████████████. ${\displaystyle X}$ ist die ██████ eines ██████████ ${\displaystyle f\in \mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(X,Y)}$ und wird auch mit ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(f)}$ ██████████ (von ████████ ██████), das ████ ${\displaystyle Y}$ mit ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(f)}$ (von ██-██████).
• ███████████████████████

die im ████████████████ █████ ██████████ sind:

${\displaystyle (\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\circ g)\circ f=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\circ (g\circ f),}$ ██████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(f)=\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(g)}$ und ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(g)=\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>})}$.

(████████████ wird das ${\displaystyle \circ }$ ███████████ und ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\circ g}$ als ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}g}$ █████████████.)

• einem ████████████████████ ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}}_X:X\to X}$ zu █████ ██████ ${\displaystyle X}$, der █████████ ███████ ███ die ███████████ mit ██████████ mit ██████ oder ████ ${\displaystyle X}$ ist, d. █. es ████ ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}}_X\circ f=f}$, █████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(f)=X}$ ist, und ${\displaystyle f\circ {\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}}_X=f}$, █████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(f)=X}$. ████████ ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}}_X}$ ist auch die ████ ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_X}$ ████████████.

Die ██████ aller ██████████ wird auch mit ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}(\mathcal{C}),\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}(\mathcal{C})}$ oder ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}(\mathcal{C})}$ ██████████ (von ████████ █████, ███████████ ██████, ███████ █████).

███████

Ein (███████████) ███████ ist eine ████████████████████ █████████ zwischen ██████████. Ein ███████ ${\displaystyle F}$ von einer █████████ ${\displaystyle \mathcal{C}}$ in eine █████████ ${\displaystyle \mathcal{D}}$ ███████ aus den █████████ █████:

• eine █████████ ${\displaystyle F:\mathrm{Ob}(\mathcal{C})\to \mathrm{Ob}(\mathcal{D})}$
• ███████████ ${\displaystyle F:{\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}}_{\mathcal{C}}(X,Y)\to {\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}}_{\mathcal{D}}(F(X),F(Y))}$ ███ je ████ ███████ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ von ${\displaystyle \mathcal{C}}$.

Die ███████████ zwischen den ████████████████ ██████ ████████ █████████████ haben:

• ███ sind ██████████ mit █████████████, d. █. ${\displaystyle F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)}$.
• ███ ████████ ████████████████████: ${\displaystyle F({\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}}_X)={\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}}_{F(X)}}$.

Ein ███████████████ ███████ (oder █████████) von ${\displaystyle \mathcal{C}}$ nach ${\displaystyle \mathcal{D}}$ ist ein ███████ ${\displaystyle {\mathcal{C}}^{\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}}\to \mathcal{D}}$. ██████████ dazu ist die ████████████ wie oben, mit den █████████ █████████████:

• Die ███████████ auf den ████████████████ █████ von ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}}_{\mathcal{C}}(X,Y)}$ nach ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}}_{\mathcal{D}}(F(Y),F(X))}$.
• Die ██████████████ mit den █████████████ ██████ ${\displaystyle F(f\circ g)=F(g)\circ F(f)}$.

Ein ███████ ${\displaystyle F:\mathcal{C}\to \mathcal{C}}$ von einer █████████ in ███ ██████ █████ ███████████.

Sind ${\displaystyle \mathcal{C},\mathcal{D},\mathcal{E}}$ ██████████ und ${\displaystyle F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}}$ █████ ${\displaystyle G:\mathcal{D}\to \mathcal{E}}$ ██- oder ██████████████ █████████, so ist die ██████████ ${\displaystyle G\circ F}$ (auch ${\displaystyle GF}$ ███████████), die ██████ durch

${\displaystyle (G\circ F)(X)=G(F(X)),(G\circ F)(f)=G(F(f))}$

███ ███████ ${\displaystyle X}$ und ██████████ ${\displaystyle f}$ █████████ ist, ein ███████ ${\displaystyle \mathcal{C}\to \mathcal{E}}$. ${\displaystyle G\circ F}$ ist █████ dann █████████, ████ ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ beide ██- oder beide █████████████ sind, ███████████ █████████████.

██████████ ██████████████

██████████ ████████████████ sind eine ███ █████████ zwischen „██████████“ █████████. Es wird von █████████ ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ ███████████, die beide von derselben █████████ ${\displaystyle \mathcal{C}}$ in ████████ █████████ ${\displaystyle \mathcal{D}}$ █████. Eine ██████████ ██████████████ ${\displaystyle t}$ von ${\displaystyle F}$ nach ${\displaystyle G}$ ███████ ███ █████ ██████ ${\displaystyle X}$ von ${\displaystyle \mathcal{C}}$ einen ██████████ ${\displaystyle t_X:F(X)\to G(X)}$, ███████ ██████████ von ${\displaystyle t}$ bei ${\displaystyle X}$. Dabei ████ ███ █████ ██████████ ${\displaystyle f:X\to Y}$ zwischen ████████ von ${\displaystyle \mathcal{C}}$ das ████████ ████████ ███████████:

Als ██████ ████████ das: ${\displaystyle t_Y\circ F(f)=G(f)\circ t_X}$.

█████████ ██████████ sind ████ █████████ ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ von ${\displaystyle \mathcal{C}}$ nach ${\displaystyle \mathcal{D}}$, ████ es ██████████ ████████████████ ${\displaystyle t:F\to G}$ und ${\displaystyle u:G\to F}$ ████, so dass ${\displaystyle tu}$ und ${\displaystyle ut}$ ███████ die █████████ sind. ██████ ██████████: ██████████ ██████████ ist der █████████████████ in der ████████████████. Eine ██████████ ██████████████ ${\displaystyle t}$ ist eine ██████████ ██████████ █████ dann, ████ ████ ██████████ ${\displaystyle t_X}$ ein █████████████ ist, ███ █████ ${\displaystyle t}$ daher auch einen ███████████ █████████████.

██████████ von ██████████: Ein ███████ ${\displaystyle F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}}$ █████ eine ██████████ von ██████████, ████ es einen ███████ ${\displaystyle G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}}$ ████, so dass ${\displaystyle FG}$ und ${\displaystyle GF}$ ███████ █████████ ██████████ zur █████████ von ${\displaystyle \mathcal{D}}$ ███. ${\displaystyle \mathcal{C}}$ sind. ████████████ von ██████████ sind █████ die ██████████, ██████████ ███████████ █████████.

██████████

███████: Die █████████████ ███ █████████ ██████████ sind in der █████████ ██████ █████████████. ███ wird eine ████████████ der █████████ in █████ oder ███████████ ████████ ███████, z. B. (███████), oder █████████████.

• Die █████████ ███, ███ ███. ██ (von ████. ███, █████. ████████, ███████ █████) ist die █████████ der ██████. Die █████████ ███████ aus der ██████ ${\displaystyle \mathrm{Ob}(\mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t})}$, die alle ██████ ███████, und die ███████████████ ███████ █████ die ███████████ von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle Y}$, d. █. ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}}_{\mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}}(X,Y)=Y^X.}$ Die ███████████ ██████ ██████████ ist die ██████████ der ███████████.

• █████ oder ███ wird die █████████ der ██████████████ ██████ (███████) und █████████ ███████████ (██████████) ███████.

• ███ ██████████ die █████████ der █████████████ █████ (███████) und ████████ ███████████ (██████████). Eine ████████████ ██████████████ ist ██████████████ die █████ ██████████████ █████ der █████████ ██████████████.

• die █████████ ███ oder ██ der ███████ mit den █████████████████████ als ██████████; ██████ die █████ ██████████████ █████ der █████████ ███████, die ████ ██████████ auch mit Ab ██████████ wird.

• die █████████ ██████ der ██████████ ████████ █████ mit den ████████ (=████████████) ████████ ███████████. ███████████████ sind z. B. die ███████████ mit ████████ ████████ ███████████ (█████_█), die ███████████ mit ████████ █████████████████ ███████████ (█████_█), oder ███████████ ████████ ██████████████ mit ███████ und █████████████████ ██████████████████████ (███████).

• Die █████████ der ███████ ██████████ ███ oder ███: Eine █████████ █████ █████, ████ die ██████ █████ ██████████ eine █████ ist. Die ███████ von ███ sind die ███████ ██████████ und die ██████████ sind die █████████. (Die ████████████ auf ██████ ██████████ ist aus ███████████████████ ███████ █████.)

• Eine █████ mit einer ███████████ ${\displaystyle (X,\le )}$ ████████ eine █████████: ███████ sind die ████████ der █████, und ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(a,b)}$ ████ █████ ein ███████ (z. B. das █████████ ████ ${\displaystyle (a,b)}$), █████ ${\displaystyle a\le b}$, und sei ███████████ ████.

• Ist ███████ ${\displaystyle X}$ ████, ██████ sich eine █████████ ████ ohne ███████ und ██████████. ███ wird mit ${\displaystyle \mathbf{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ██████████ und █████ die ████████ oder █████ █████████. Die █████████ █████ daher, dass ${\displaystyle \mathbf{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ █████████ ██████ in ███ ist.

• Ist dagegen ${\displaystyle X}$ ████████████, ██████ sich eine █████████ ${\displaystyle \mathbf{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$, die aus █████ einem ██████ und dessen ████████████████████ ███████. ███ wird ██████ oder █████████ █████████ ███████, ███ dadurch █████████ ist, dass ${\displaystyle \mathbf{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ███████ ██████ in ███ ist.

• Sind ${\displaystyle \mathcal{C}}$ und ${\displaystyle \mathcal{D}}$ ██████████, so kann ███ die ████████████████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(\mathcal{C},\mathcal{D})}$ ██████: ███████ sind █████████ von ${\displaystyle \mathcal{C}}$ nach ${\displaystyle \mathcal{D}}$, ██████████ sind ██████████ ████████████████.

• Ist ${\displaystyle \mathcal{C}}$ eine █████████ und ${\displaystyle S}$ ein ██████ von ${\displaystyle \mathcal{C}}$, so ist die █████████ ${\displaystyle \mathcal{C}/S}$ der ███████ ████ ${\displaystyle S}$ wie █████ █████████: ███████ von ${\displaystyle \mathcal{C}/S}$ sind ██████████ in ${\displaystyle \mathcal{C}}$ mit ████ ${\displaystyle S}$, und ██████████ von ${\displaystyle \mathcal{C}/S}$ sind ██████████ von ${\displaystyle \mathcal{C}}$, die mit den „██████████████████“ nach ${\displaystyle S}$ ███████████ sind, d. █. sind ${\displaystyle f:X\to S}$ und ${\displaystyle g:Y\to S}$ ████ ███████ von ${\displaystyle \mathcal{C}/S}$, so sind ██████████ von ${\displaystyle (X,f)}$ nach ${\displaystyle (Y,g)}$ in ${\displaystyle \mathcal{C}/S}$ die ██████████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle Y}$, ███ die ${\displaystyle g\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}=f}$ ████.

• █████████ sei * ein ██████ ████████████ █████████████ ████. Dann ist die █████████ der █████████████ █████ unter * ████████ zur █████████ ███^* der ███████████ █████████████ █████.

Die ███████ der oben █████████ █████████ sind so ███████ (oder ██████ sich ██████ ███████████ ████████), dass die ███████ ██████ ████████ mit einer ██████████████ sind, die ██████████ ███████████, die mit ██████ ████████ ███████████ sind, und die ███████████ von ██████████ die ████████████████████████ von ███████████ ist. ███ ███████ in ██████ ████ von einer █████████ █████████. Es ist ██████ nicht ████ █████████ ███████ oder auch ███ ██████████ zu einer █████████ █████████ (d. █. ███████████████). Nicht ███████████████ sind ██████████████ (ohne ██████):

• Die █████████-█████████ █████ ███. ████ mit █████████████ ██████ als ████████ und ████████████████ ████████ ███████████ als ██████████.

• Die █████████ der ███████ ██████████, allerdings mit den ███████████ █████████████████ von █████████ als ██████████.

█████████

█████ ████ ███ ███ █████████ ███ die █████████ der ███████ an, ████ die ███████████ auf den ████████████████ daraus ██████ zu ███████ sind.

• ███ ein ██████ ${\displaystyle T}$ einer █████████ ${\displaystyle \mathcal{C}}$ ist die █████████

${\displaystyle X\mapsto {\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}}_{\mathcal{C}}(T,X)}$

ein (███████████) ███████ ${\displaystyle \mathcal{C}\to \mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}}$. Der ███████

${\displaystyle X\mapsto {\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}}_{\mathcal{C}}(X,T)}$

ist █████████████. ██████ █████ auch ███-███████.

• Es sei ${\displaystyle K}$ ein ██████ und ${\displaystyle {\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}}_K}$ die █████████ der ███████████ ████ ${\displaystyle K}$ mit den ${\displaystyle K}$-████████ ███████████ als ██████████. Es sei ███ ein ███████████████ ███████

${\displaystyle D:{\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}}_K\to {\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}}_K}$

wie █████ █████████:

• ███ ein ██████ ${\displaystyle V}$ ist ${\displaystyle D(V)=V^{\ast }={\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\mathrm{o}\mathrm{m}}_K(V,K)}$ der ████████ von ${\displaystyle V.}$
• ███ eine ███████ █████████ ${\displaystyle f:V\to W}$ ist

${\displaystyle D(f):W^{\ast }\to V^{\ast },\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\mapsto \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\circ f.}$

███ █████████ ██████, dass ${\displaystyle D(f\circ g)=D(g)\circ D(f)}$ und ${\displaystyle D({\mathrm{i}\mathrm{d}}_V)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{V^{\ast }}}$ ████.

• ${\displaystyle {\mathrm{G}}_m:(\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e})\to (\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n})}$: ██████ einem ████████ ████ █████ ██████ der █████████ zu. ███████████: ${\displaystyle {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n:(\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e})\to (\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n})}$: ██████ einem ████ die ██████ der ██████████████ ${\displaystyle (n\times n)}$-████████ zu.
• Die █████████████████ ist ein ███████ ${\displaystyle {\mathbf{T}\mathbf{o}\mathbf{p}}^{\ast }\to \mathbf{G}\mathbf{r}\mathbf{p}}$, von der █████████ der ███████████ █████████████ █████ (die ███████████ ████ den ██████████ an) in die █████████ der ███████; die ███████ ████████████████ sind █████████ ${\displaystyle {\mathbf{T}\mathbf{o}\mathbf{p}}^{\ast }\to \mathbf{A}\mathbf{b}}$; die ████████████████ sind █████████ ${\displaystyle \mathbf{T}\mathbf{o}\mathbf{p}\to \mathbf{A}\mathbf{b}}$; die ██████████████████ sind ██████████████ █████████ ${\displaystyle \mathbf{T}\mathbf{o}\mathbf{p}\to \mathbf{A}\mathbf{b}}$.
• ████████████████: Es ████ ███████████████ █████████ ${\displaystyle \mathbf{A}\mathbf{b}\to \mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}}$, ${\displaystyle \mathbf{A}\mathbf{b}\to \mathbf{G}\mathbf{r}\mathbf{p}}$, ${\displaystyle \mathbf{T}\mathbf{o}\mathbf{p}\to \mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}}$ ███., die ███████ einen ████ der ████████ „█████████“, d. █. einer █████████ ██████ die ████████████████ █████, einer █████████ ██████ sich ██████ (aber ohne die ███████████, dass ███ ███████ ist), einem █████████████ ████ die ████████████████ █████ ███. ████████.
• „█████“ ██████████████, ████ █████ ████████ ██████: █████ █████ ${\displaystyle S}$ kann ███ die ████████ ██████ ${\displaystyle F(S):=\{a:S\to \mathbb{Z}|a(s)\ne \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\text{<span word-length="4" class="word redacted">████</span> <span word-length="10" class="word redacted">██████████</span> endlich <span word-length="5" class="word redacted">█████</span>}s\in S\}}$ (mit ███████████ ████████) ████████. ████████ mit ████████████████ ███████████ ███ ███████████, ███████ ${\displaystyle F(f):a\mapsto t\mapsto \sum _{s\in f^{-\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}(t)}a(s)}$, ██████ sich ein ███████ von ${\displaystyle \mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}}$ nach ${\displaystyle \mathbf{A}\mathbf{b}}$. Es ████ dann eine ██████████ ██████████ ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}}_{\mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}}(S,V(A))\cong {\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}}_{\mathbf{A}\mathbf{b}}(F(S),A)}$, █████ ${\displaystyle V}$ der ██████████████ ist. ███ ████, ${\displaystyle F}$ ist (█████-)████████████ ███████ zu ${\displaystyle V}$. ████████ ██████████ ██████████ ███ █████ ████████████████.
• █████████ zwischen ██████████, die von ██████████████ ██████ ████████ werden (s. o.), sind ██████ ████████ ███████████.

██████████ ████████████████

• Die █████████████ █████ wie im ████████ des ████████ „████████“ oben. Die ███████████

${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_V:V\to V^{\ast \ast },v\mapsto (\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\mapsto \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}(v))}$

eines ████████████ in ██████ ██████████ ██████ eine ██████████ ██████████████

${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}:{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}}_K}\to D\circ D.}$

Auf der ██████ ██████████████ der ████████████████████ ███████████ ist ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ eine ██████████ ██████████.

• ${\displaystyle <span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>:{\mathrm{G}\mathrm{L}}_n\to {\mathrm{G}}_m}$: ███ einen ████ ${\displaystyle R}$ ist ${\displaystyle \underset{R}{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}}$ der █████████████████████ ${\displaystyle {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(R)\to R^{\times }}$, die ████████████.
• Die ████████-█████████

${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_k(X)\to {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_k(X,\mathbb{Z})}$

• Das ██████████ in der ███████████.
• Die ████████████ einer ██████

${\displaystyle G\to G^{\mathrm{a}b}:=G/[G,G]}$

Das ██████-█████

Es sei ${\displaystyle \mathcal{C}}$ eine █████████. Der ███████

${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}:\mathcal{C}\to \mathbf{M}\mathbf{o}\mathbf{r}({\mathcal{C}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}},\mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}),}$

der einem ██████ ${\displaystyle X}$ den ███████

${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_X:T\mapsto {\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}}_{\mathcal{C}}(T,X)}$

████████, ist ████████. ███████████ ████ ███ ███████ ${\displaystyle X}$ von ${\displaystyle \mathcal{C}}$ und ${\displaystyle F}$ von ${\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}({\mathcal{C}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}},\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{t})}$:

${\displaystyle {\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}}_{\mathbf{M}\mathbf{o}\mathbf{r}({\mathcal{C}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}},\mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t})}({\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_X,F)=F(X)}$;

einer ███████████ ██████████████ ${\displaystyle t:{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_X\mapsto F}$ wird dabei ${\displaystyle t_X({\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}}_X)}$ ██████████ (███ ███████ ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_X(X)={\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}}_{\mathcal{C}}(X,X)}$).

████████████████

Das ██████-█████ ███████ es, ████████, die aus der █████████ der ██████ ████████ sind, auf █████████ ██████████ zu ██████████. ██████████████ kann ███ ein ███████ von ████████ ${\displaystyle X_i}$ ██████████ als ein ██████ ${\displaystyle P}$, ███ das ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}(P)}$ ███████████ das ███████████ ███████ der ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}(X_i)}$ ist, d. █., dass

${\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}(T,P)\cong \prod \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}(T,X_i)}$

████; dabei █████ ${\displaystyle \cong }$ eine ██████████ ██████████ von █████████ in ${\displaystyle T}$. █████ ██████████ ███████ ███ ${\displaystyle T=P}$ als ████████████ von ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}}_P}$ auch ██████████ ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}}_i:P\to X_i}$. Das ██████-█████ █████ dann, dass ${\displaystyle P}$ bis auf ██████████ ██████████ █████████ ████████ ist: sind ${\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}(\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},P)}$ und ${\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}(\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},Q)}$ ███ ${\displaystyle t}$ █████████ ███████████ █████████, so sind ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ ███ ${\displaystyle t_P({\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}}_P)}$ ████████.

„██████████“ ist ██████ ████████████ ███████ in dem █████████ ████: ████ █████ ███ ███████████ ${\displaystyle f_i:T\to X_i}$ ███████ hat, ██████ █████ von den ████████████ ███████████ ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}}_i:P\to X_i}$ her, d. █. es ████ eine █████████ ${\displaystyle c:T\to P}$, so dass ${\displaystyle f_i={\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}}_{i}c}$ ████.

Außerdem kann ███ zu █████ ██████ ██████████ ████████████ die █████ ████████████ ██████ (█████ durch eine ████████ „██“ ██████████████), indem ███ zur ██████ █████████ ████████. ██████████████ ist das █████████ von ████████ ${\displaystyle X_i}$ in einer █████████ ${\displaystyle \mathcal{C}}$ ████████ wie das ███████ derselben ███████ ${\displaystyle X_i}$ in der ██████ █████████ ${\displaystyle {\mathcal{C}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}$.

████████████ ██████ auch █████████████ von █████████████████ auf █████████ ██████████ ██████████ werden: ██████████████ ist ein ██████████ ${\displaystyle X\to Y}$ ein ██████████████, ████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}(X)\to \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}(Y)}$ ███████████ ████████ ist.

█████████ ███████████ ██████████████ ███. ████████

• ███████ und █████████
• ██████████████ und ██████████
• █████████████ und ███████████████
• ████████████ und ███████
• █████████ ███████ ███. █████████
• █████████ und ██████████ ███████
• ███████████ █████████
• █-█████████