██████ ████████████

In ███████████ ██████ and ██████████, a ██████ ████████████ or ████████ ████████████ is a ████ of ██████████ ███████████ ████████████ for a ████-██████ ██████ ████████. The ███████ ████ of ███ ███████████ ███████ ████████ is $f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp {\left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}\,.$ The █████████ ⁠ $\mu$ ⁠ is the ████ or ███████████ of the ████████████ (and ████ ███ ██████ and ████), █████ the █████████ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ is the ████████. The ████████ █████████ of the ████████████ is the ████████ █████ ⁠ $\sigma$ ⁠ (█████). A ██████ ████████ with a ████████ ████████████ is ████ to be ████████ ███████████ and is ██████ a ██████ ███████.

██████ █████████████ can be █████████ in ██████████ and are █████ used in the ███████ and ██████ ████████ to █████████ ████-██████ ██████ █████████ █████ █████████████ are not █████. █████ ██████████ is ██████ ███ to the ███████ █████ ███████. It ██████ that the ███████ of ████ █████████████ ███████████ ███████ (████████████) of a ██████ ████████ with ██████ ████ and ████████ is ██████ a ██████ ████████—█████ ████████████ █████████ to a ██████ ████████████ as the ██████ of ███████ █████████. █████████, ████████ ██████████ that are ████████ to be the ███ of ████ ███████████ █████████, ████ as ███████████ ██████, █████ have █████████████ that are ██████ ██████.

████████, ████████ █████████████ have some ██████ ██████████ that are ████████ in ████████ ███████. For ████████, ███ ██████ ███████████ of a █████ ██████████ of ███████████ ██████ ████████ is a ██████ ███████. ████ ███████ and ███████, ████ as ███████████ of ███████████ and █████ ███████ █████████ ███████, can be ███████ ████████████ in ████████ ████ ████ the ████████ █████████ are ████████ ███████████.

███████, ██████ █████████████ are ██████████ ███████ in ████████ █████ the ██████████ that the ████ are ████████ ███████████ is not ███ and the ██████ ████████████ is a ████ █████.

A ██████ ████████████ is █████████ ██████████ ██████ a ████ █████. ███████, ████ █████ █████████████ are ████-██████ (████ as the ██████, ███████'s █, and ████████ █████████████). (For █████ █████, ███ ██████.)

The ██████████ ███████████ ████████████ is ███████████ for ███████ in the ████████████ ██████ ████████████ and for ████████ in the ██████ ██████ ████████████.

███████████

████████ ██████ ████████████

The ████████ ████ of a ██████ ████████████ is █████ as the ████████ ██████ ████████████ or ████ ██████ ████████████. This is a ███████ ████ ████ ${\textstyle \mu =0}$ and ${\textstyle \sigma ^{2}=1}$ , and it is █████████ by this ███████████ ███████ ████████ (or ███████): $\varphi (z)={\frac {e^{-z^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\,.$ The ████████ ⁠ $█$ ⁠ has a ████ of █ and a ████████ and ████████ █████████ of █. The ███████ ${\textstyle \varphi (z)}$ has ███ ████ █████ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ at ${\textstyle z=0}$ and ██████████ ██████ at ${\textstyle z=+1}$ and ⁠ $z=-1$ ⁠.

████████ the ███████ above is ████ ████████ █████ as the ████████ ██████, a ███ ███████ have used that ████ to ████████ █████ ████████ of the ██████ ████████████. ████ █████████ █████, for ███████, ████ ███████ the ████████ ██████ as ${\textstyle \varphi (z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}},}$ which has a ████████ of ⁠ ${\tfrac {1}{2}}$ ⁠, and ███████ ███████ ████ ███████ the ████████ ██████ as ${\textstyle \varphi (z)=e^{-\pi z^{2}},}$ which has a ██████ ██████████ ████ and a ████████ of ${\textstyle \sigma ^{2}={\frac {1}{2\pi }}.}$

███████ ██████ ████████████

If ⁠ $█$ ⁠ is a ████████ ██████ ███████, ████ ${\textstyle X=\sigma Z+\mu }$ will have a ██████ ████████████ with ████████ █████ ⁠ $\mu$ ⁠ and ████████ █████████ ⁠ $\sigma$ ⁠. This is ██████████ to ██████ that the ████████ ██████ ████████████ ⁠ $█$ ⁠ can be ██████/█████████ by a ██████ of ⁠ $\sigma$ ⁠ and ███████ by ⁠ $\mu$ ⁠ to █████ a █████████ ██████ ████████████, ██████ ⁠ $█$ ⁠.

██████████, if ⁠ $█$ ⁠ is a ██████ ███████ with ██████████ ⁠ $\mu$ ⁠ and ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , ████ this ⁠ $█$ ⁠ ████████████ can be ██-██████ and ███████ via the ███████ ${\textstyle Z=(X-\mu )/\sigma }$ to ███████ it to the ████████ ██████ ████████████. This ███████ is ████ ██████ the ████████████ ████ of ⁠ $█$ ⁠.

In ██████████, the ███████████ ███████ ████████ for ⁠ $█$ ⁠ can be ███████ in █████ of the ████████ ██████ ████████████ ⁠ $\varphi$ ⁠ (with ████ ████ and ████ ████████): $f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\,.$ The ███████████ ███████ ████ be ██████ by ${\textstyle 1/\sigma }$ ██ that the ████████ is █████ █.

████████

The ███████████ ███████ ████████ of the ████████ ██████ ████████████ is ████████ ███████ by the █████ ██████ ███, ⁠ $\phi$ ⁠. The ███████ ████ ⁠ $\varphi$ ⁠ is ████ used.

The ██████████ ████████████ ████████ of the ████████ ██████ ████████████ is ████████ ███████ by the ███████ █████ ██████ ███, ⁠ $\Phi$ ⁠.

The ██████ ████████████ is █████ ████████ to as ${\textstyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ or ⁠ ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ ⁠. ████ a ██████ ████████ ⁠ $█$ ⁠ is ████████ ███████████ with ████ ⁠ $\mu$ ⁠ and ████████ █████████ ⁠ $\sigma$ ⁠, ███ ███ █████

$X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}).$

███████████ █████████████████

Some ███████ ████████ using the █████████ ⁠ $\tau$ ⁠ as the █████████ ████████ the █████ of the ████████████, ███████ of the ████████ █████████ ⁠ $\sigma$ ⁠ or the ████████ ⁠ $\sigma ^{2}$ ⁠. The █████████ is ████████ ███████ as the ██████████ of the ████████, ⁠ $1/\sigma ^{2}$ ⁠. The ███████ for the ████████████ ████ ███████ $f(x)={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}e^{-\tau (x-\mu )^{2}/2}.$

This ██████ is ███████ to have ██████████ in █████████ ████████████ ████ ⁠ $\sigma$ ⁠ is ████ █████ to ████, and ██████████ ████████ in some ████████, ████ as in the ████████ █████████ of █████████ with ████████████ ██████ ████████████.

█████████████, the ██████████ of the ████████ █████████ ${\textstyle \tau '=1/\sigma }$ █████ be ███████ as the █████████, in which ████ the ██████████ of the ██████ ████████████ ███████ $f(x)={\frac {\tau '}{\sqrt {2\pi }}}e^{-(\tau ')^{2}(x-\mu )^{2}/2}.$

█████████ to ███████, this ███████████ is ████████████ because of a ████ ███████ and ██████-to-████████ ███████, and ██████ ███████████ ████████ for the █████████ of the ████████████.

██████ █████████████ ████ an ███████████ ██████ with ███████ ██████████ ${\textstyle \textstyle \theta _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}}$ and ${\textstyle \textstyle \theta _{2}=-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}}$ , and ███████ ██████████ █ and █^█. The ████ ███████████ ██████████ for ██████ ████████████ are █_█ = █ and █_█ = █^█ + █^█.

██████████ ████████████ ████████

The ██████████ ████████████ ████████ (███) of the ████████ ██████ ████████████, ███████ ███████ with the ███████ █████ ██████ ⁠ $\Phi$ ⁠, is the ████████ $\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt\,.$

The ███████ █████ ████████ ${\textstyle \operatorname {erf} (x)}$ █████ the ███████████ of a ██████ ████████, with ██████ ████████████ of ████ █ and ████████ █/█, ███████ in the █████ ⁠ $[-x,x]$ ⁠. That is: $\operatorname {erf} (x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-x}^{x}e^{-t^{2}}\,dt={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt\,.$

█████ █████████ ██████ be █████████ in █████ of ██████████ █████████, and are █████ ████ to be ███████ █████████. ███████, ████ █████████ ██████████████ are █████; ███ below for ████.

The ███ █████████ are ███████ ███████, ██████ $\Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right].$

For a ███████ ██████ ████████████ with ███████ ⁠ $█$ ⁠, ████ ⁠ $\mu$ ⁠ and ████████ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , the ██████████ ████████████ ████████ is $F(x)=\Phi {\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right].$

The ███████████ that █ ████ between a and █ with a < █ is █████████ $\operatorname {P} (a<x\leq b)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {b-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)-\operatorname {erf} \left({\frac {a-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]$

The ██████████ of the ████████ ██████ ██████████ ████████████ ████████, ${\textstyle Q(x)=1-\Phi (x)}$ , is █████ ██████ the █-████████, ██████████ in ███████████ █████. It █████ the ███████████ that the █████ of a ████████ ██████ ██████ ████████ ⁠ $█$ ⁠ will ██████ ⁠ $█$ ⁠: ⁠ $P(X>x)$ ⁠. █████ ███████████ of the ⁠ $█$ ⁠-████████, ███ of which are ██████ ███████████████ of ⁠ $\Phi$ ⁠, are ████ used ████████████.

The █████ of the ████████ ██████ ██████████ ████████████ ████████ ⁠ $\Phi$ ⁠ has █-████ ██████████ ████████ around the █████ (█,█/█); that is, ⁠ $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$ ⁠. ███ ██████████████ (██████████ ████████) can be █████████ as ███████: $\int \Phi (x)\,dx=x\Phi (x)+\varphi (x)+C.$

An ██████████ █████████ of the ██████████ ████████████ ████████ for █████ █ can be ███████ using ███████████ by █████: $\Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!!}}x^{2n+1}\,.$ █████ ${\textstyle !!}$ !!} ███████ the ██████ █████████. For ████, ███ █████ ████████ § ██████████ █████████.

██████ ██████ ██████████████

The ██████ ██████ for the ██████ ████████████ ⁠ $\varphi$ ⁠ can be ███████ by ████████████ ⁠ $-{\tfrac {1}{2}}x^{2}$ ⁠ into the ██████ ██████ for the ███████████ ████████:

$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\,2^{n}}}x^{2n}$

This ██████ can be ██████████ ████ by ████ to ██████ the ██████ ██████ for the ██████████ ████████████ ████████:

$\Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\,2^{n}(2n+1)}}x^{2n+1}.$ ███████, this ██████ is ███████████ for ███████████ ███ to ████ ███████████, except ████ ⁠ $█$ ⁠ is █████.

████ of █████ ██████ ████████ ██████ █████████, which ████████ for ███ ████ and ███████ ██████ of ⁠ $█$ ⁠.

█████████ ███████████ with ██████ ██████

The ██████████ ████████ for ███████ ███████████ ██_█(█) ███ be used to ███████████ █████████ the ██████ ██████ █████████ about ███ █████ █_█: $\Phi (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Phi ^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}\,,$ █████: ${\begin{aligned}\Phi ^{(0)}(x_{0})&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x_{0}}e^{-t^{2}/2}\,dt\\\Phi ^{(1)}(x_{0})&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x_{0}^{2}/2}\\\Phi ^{(n)}(x_{0})&=-\left(x_{0}\Phi ^{(n-1)}(x_{0})+(n-2)\Phi ^{(n-2)}(x_{0})\right),&n\geq 2\,.\end{aligned}}$

████████ █████████ and ████████

About ██% of ██████ █████ from a ██████ ████████████ are within ███ ████████ █████████ █ from the ████; about ██% of the ██████ ███ within ███ ████████ ██████████; and about ██.█% are within █████ ████████ ██████████. This is █████ as the ██–██–██.█ (█████████) ████, or the █-█████ ████.

████ █████████, the ███████████ that a ██████ ███████ ████ in the █████ between ${\textstyle \mu -n\sigma }$ and ${\textstyle \mu +n\sigma }$ is █████ by $F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )=\Phi (n)-\Phi (-n)=\operatorname {erf} \left({\frac {n}{\sqrt {2}}}\right).$ To ██ ███████████ ██████, the ██████ for ${\textstyle n=1,2,\ldots ,6}$ are:

For █████ ⁠ $█$ ⁠, ███ can use the █████████████ $1-p\approx {\frac {\sqrt {2}}{n{\sqrt {\pi e^{n^{2}}}}}}$

████████ ████████

The ████████ ████████ of a ████████████ is the ███████ of the ██████████ ████████████ ████████. The ████████ ████████ of the ████████ ██████ ████████████ is ██████ the ██████ ████████, and can be █████████ in █████ of the ███████ █████ ████████: $\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).$ For a ██████ ██████ ████████ with ████ ⁠ $\mu$ ⁠ and ████████ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , the ████████ ████████ is $F^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).$ The ████████ ${\textstyle \Phi ^{-1}(p)}$ of the ████████ ██████ ████████████ is ████████ ███████ as ⁠ $z_{p}$ ⁠. █████ ██████ are used in ██████████ ███████, ████████████ of ██████████ █████████ and █–█ █████. A ██████ ██████ ████████ ⁠ $█$ ⁠ will ██████ ${\textstyle \mu +z_{p}\sigma }$ with ███████████ ${\textstyle 1-p}$ , and will ███ outside the ████████ ${\textstyle \mu \pm z_{p}\sigma }$ with ███████████ ⁠ $2(1-p)$ ⁠. In ██████████, the ████████ ${\textstyle z_{0.975}}$ is █.██; █████████ a ██████ ██████ ████████ will ███ outside the ████████ ${\textstyle \mu \pm 1.96\sigma }$ in ████ █% of █████.

The following █████ █████ the ████████ ${\textstyle z_{p}}$ ████ that ⁠ $█$ ⁠ will ███ in the █████ ${\textstyle \mu \pm z_{p}\sigma }$ with a █████████ ███████████ ⁠ $█$ ⁠. █████ ██████ are ██████ to █████████ █████████ ████████ for ██████ ████████ and █████ ███████████ ██████████ with ██████ (or ██████████████ ██████) █████████████. The following █████ █████ ${\textstyle {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(p)=\Phi ^{-1}\left({\frac {p+1}{2}}\right)}$ , not ${\textstyle \Phi ^{-1}(p)}$ as ███████ above.

For █████ ⁠ $█$ ⁠, the ████████ ████████ has the ██████ ██████████ █████████ ${\textstyle \Phi ^{-1}(p)=-{\sqrt {\ln {\frac {1}{p^{2}}}-\ln \ln {\frac {1}{p^{2}}}-\ln(2\pi )}}+{\mathcal {o}}(1).}$

Using ████ ███████ to ███████ the ████████ ████████

███ of the █████████ ██████████ for █████████ the ██████████ ████████████ ████████ ${\textstyle \Phi (x)}$ can be used with ██████'s ██████ (or ███████ ████-███████ █████████ ████ as ██████'s ██████) to ████ the █████ of ⁠ $█$ ⁠ for which ⁠ $\Phi (x)=q$ ⁠ for some ███████ ████████ ⁠ $█$ ⁠. For ███████, ████████ with an ███████, █████████████ ███████ █████ ⁠ $x_{0}$ ⁠, ████████████ ██████ ██████████████ ⁠ $x_{1}$ ⁠, ⁠ $x_{2}$ ⁠, ... can be ██████████ ███████████ using ██████'s ██████ with $x_{n}=x_{n-1}-{\frac {\Phi (x_{n-1})-q}{\varphi (x_{n-1})}}\,.$

██████████

The ██████ ████████████ is the ████ ████████████ █████ █████████ beyond the █████ ███ (█.█., █████ than the ████ and ████████) are ████. It is ████ the ██████████ ████████████ with the ███████ ███████ for a █████████ ████ and ████████. █████ has █████, ████████ that the ████ and ████████ are ██████, that the ██████ ████████████ is the ████ ████████████ █████ the ████ and ████████ ██████████ from a ███ of ███████████ █████ are ███████████ of ████ █████.

The ██████ ████████████ is a ████████ of the ██████████ █████████████. The ██████ ████████████ is █████████ about ███ ████, and is ███-████ over the ██████ ████ ████. As ████ it ███ not be a ████████ █████ for █████████ that are ██████████ ████████ or ████████ ██████, ████ as the ██████ of a ██████ or the █████ of a █████ of █████. ████ █████████ ███ be ██████ █████████ by █████ █████████████, ████ as the ███-██████ ████████████ or the ██████ ████████████.

The █████ of the ██████ ███████ is ███████████ ████ ████ the █████ ⁠ $█$ ⁠ ████ ████ than a ███ ████████ ██████████ ████ from the ████ (█.█., a ██████ of █████ ████████ ██████████ ██████ ███ but █.██% of the █████ ████████████). █████████, it ███ not be an ███████████ █████ ████ ███ ███████ a ███████████ ████████ of ████████—██████ that ███ ████ ████████ ██████████ ████ from the ████—and █████ ███████ and █████ ███████████ █████████ ███████ that are ███████ for ████████ ███████████ █████████ █████ ██████ ██████ ██████████ ████ ███████ to ████ ████. In █████ █████, a ████ █████-██████ ████████████ ██████ be ███████ and ███████████ ██████ ███████████ █████████ ███████ ███████.

The ████████ ████████████ ███████ to the ██████ of ██████ █████████████ which are the ██████████ of ████ of ███████████, ███████████ ███████████ █████████████ ███████ or not the ████ or ████████ is ██████. Except for the ████████ which is a ████████ ████, ███ ██████ █████████████ have █████ █████ and ████████ ████████. It is ███ of the ███ █████████████ that are ██████ and that have ███████████ ███████ █████████ that can be █████████ ████████████, the ██████ being the ██████ ████████████ and the ████ ████████████.

██████████ and ███████████

The ██████ ████████████ with ███████ ${\textstyle f(x)}$ (████ ⁠ $\mu$ ⁠ and ████████ ${\textstyle \sigma ^{2}>0}$ ) has the following ██████████:

It is █████████ around the █████ ${\textstyle x=\mu ,}$ which is at the ████ ████ the ████, the ██████ and the ████ of the ████████████.
It is ████████: ███ █████ ██████████ is ████████ for ${\textstyle x<\mu ,}$ ████████ for ${\textstyle x>\mu ,}$ and ████ ████ at ${\textstyle x=\mu .}$
The ████ ███████ by the █████ and the ⁠ $█$ ⁠-████ is █████ (█.█. █████ to ███).
███ █████ ██████████ is ${\textstyle f'(x)=-{\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}f(x).}$
███ ██████ ██████████ is ${\textstyle f''(x)={\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}f(x).}$
███ ███████ has ███ ██████████ ██████ (█████ the ██████ ██████████ of ⁠ $█$ ⁠ is ████ and ███████ ████), ███████ ███ ████████ █████████ ████ from the ████, ██████ at ${\textstyle x=\mu -\sigma }$ and ${\textstyle x=\mu +\sigma .}$
███ ███████ is ███-███████.
███ ███████ is ██████████ ██████████████, ██████ ███████████ of █████ █.

███████████, the ███████ ⁠ $\varphi$ ⁠ of the ████████ ██████ ████████████ (█.█. ${\textstyle \mu =0}$ and ${\textstyle \sigma =1}$ ) ████ has the following ██████████:

███ █████ ██████████ is ${\textstyle \varphi '(x)=-x\varphi (x).}$
███ ██████ ██████████ is ${\textstyle \varphi ''(x)=(x^{2}-1)\varphi (x)}$
████ █████████, ███ ███ ██████████ is ${\textstyle \varphi ^{(n)}(x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x)\varphi (x),}$ █████ ${\textstyle \operatorname {He} _{n}(x)}$ is the ███ (███████████) ███████ ██████████.
The ███████████ that a ████████ ███████████ ████████ ⁠ $█$ ⁠ with █████ ⁠ $\mu$ ⁠ and ${\textstyle \sigma ^{2}}$ is in a ██████████ ███, can be ██████████ █████ that the ████████ ${\textstyle Z=(X-\mu )/\sigma }$ has a ████████ ██████ ████████████.

███████

The █████ and ████████ ███████ of a ████████ ⁠ $█$ ⁠ are the ████████ ██████ of ${\textstyle X^{p}}$ and ${\textstyle |X|^{p}}$ , ████████████. If the ████████ █████ ⁠ $\mu$ ⁠ of ⁠ $█$ ⁠ is ████, █████ ██████████ are ██████ ███████ ███████; █████████, █████ ██████████ are ██████ ███-███████ ███████. ███████ ██ are ██████████ ████ in ███████ with ███████ █████ ⁠ $█$ ⁠.

If ⁠ $█$ ⁠ has a ██████ ████████████, the ███-███████ ███████ █████ and are ██████ for ███ ⁠ $█$ ⁠ █████ ████ ████ is ███████ than −█. For ███ ███-████████ ███████ ⁠ $█$ ⁠, the █████ ███████ ███████ are: $\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{p}\right]={\begin{cases}0&{\text{if }}p{\text{ is odd,}}\\\sigma ^{p}(p-1)!!&{\text{if }}p{\text{ is even.}}\end{cases}}$ ████ ${\textstyle n!!}$ ███████ the ██████ █████████, that is, the ███████ of ███ ███████ from ⁠ $█$ ⁠ to █ that have the ████ ██████ as ${\textstyle n.}$

The ███████ ████████ ███████ ████████ with █████ ███████ for ███ ████ ██████, but are ███████ for ███ ██████. For ███ ███-████████ ███████ ${\textstyle p,}$

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[|X-\mu |^{p}\right]&=\sigma ^{p}(p-1)!!\cdot {\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}&{\text{if }}p{\text{ is odd}}\\1&{\text{if }}p{\text{ is even}}\end{cases}}\\[8pt]&=\sigma ^{p}\cdot {\frac {2^{p/2}\Gamma \left({\frac {p+1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}.\end{aligned}}$ The ████ ███████ is █████ ████ for ███ ███-███████ ${\textstyle p>-1.}$ ████ the ████ ${\textstyle \mu \neq 0,}$ the █████ and ████████ ███████ can be █████████ in █████ of █████████ ██████████████ █████████ ${\textstyle {}_{1}F_{1}}$ and ${\textstyle U.}$ ${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{p}\right]&=\sigma ^{p}\cdot {\left(-i{\sqrt {2}}\right)}^{p}\,U{\left(-{\frac {p}{2}},{\frac {1}{2}},-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)},\\\operatorname {E} \left[|X|^{p}\right]&=\sigma ^{p}\cdot 2^{p/2}{\frac {\Gamma {\left({\frac {1+p}{2}}\right)}}{\sqrt {\pi }}}\,{}_{1}F_{1}{\left(-{\frac {p}{2}},{\frac {1}{2}},-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}.\end{aligned}}$

█████ ███████████ ██████ █████ ████ ████ ⁠ $p>-1$ ⁠ is not an ███████. ███ ████ ███████████ ███████ ███████████.

The ███████████ of ⁠ $█$ ⁠ ███████████ on the █████ that ⁠ $█$ ⁠ ████ in an ████████ ${\textstyle [a,b]}$ is █████ by $\operatorname {E} \left[X\mid a<X<b\right]=\mu -\sigma ^{2}{\frac {f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}}\,,$ █████ ⁠ $█$ ⁠ and ⁠ $█$ ⁠ ████████████ are the ███████ and the ██████████ ████████████ ████████ of ⁠ $█$ ⁠. For ${\textstyle b=\infty }$ this is █████ as the ███████ █████ █████. ████ that above, ███████ ⁠ $█$ ⁠ of ⁠ $█$ ⁠ is used ███████ of ████████ ██████ ███████ as in ███████ █████ █████, ██ ████ ██ have ${\textstyle \sigma ^{2}}$ ███████ of ⁠ $\sigma$ ⁠.

███████ █████████ and ██████████████ ████████

The ███████ █████████ of a ██████ ███████ ⁠ $█$ ⁠ with ████ ⁠ $\mu$ ⁠ and ████████ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ is

${\hat {f}}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx=e^{-i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}\,,$

█████ ⁠ $█$ ⁠ is the █████████ ████. If the ████ ${\textstyle \mu =0}$ , the █████ ██████ is █, and the ███████ █████████ is, █████ from a ████████ ██████, a ██████ ███████ on the █████████ ██████, with ████ █ and ████████ ⁠ $1/\sigma ^{2}$ ⁠. In ██████████, the ████████ ██████ ████████████ ⁠ $\varphi$ ⁠ is an █████████████ of the ███████ █████████.

In ███████████ ██████, the ███████ █████████ of the ███████████ ████████████ of a ████-██████ ██████ ████████ ⁠ $█$ ⁠ is ███████ █████████ to the ██████████████ ████████ ${\textstyle \varphi _{X}(t)}$ of that ████████, which is ███████ as the ████████ █████ of ${\textstyle e^{itX}}$ , as a ████████ of the ████ ████████ ⁠ $█$ ⁠ (the █████████ █████████ of the ███████ █████████). This ██████████ can be ████████████ ████████ to a ███████-█████ ████████ ⁠ $█$ ⁠. The ████████ between ████ is: $\varphi _{X}(t)={\hat {f}}(-t)\,.$

The ████ and █████████ █████ of ${\hat {f}}(t)=\operatorname {E} [e^{-itx}]=e^{-i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$ ████: $\operatorname {E} [\cos(tx)]=\cos(\mu t)e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$ and $\operatorname {E} [\sin(tx)]=\sin(\mu t)e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}.$

█████████, $\operatorname {E} [\cosh(tx)]=\cosh(\mu t)e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$ and $\operatorname {E} [\sinh(tx)]=\sinh(\mu t)e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}.$

█████ ████████ █████████ at $t=1$ ████ the ████████ █████ of █████ █████ █████████████ and ██████████ █████████ over a ████████ ██████ ████████ $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ , which ████ █████ be ████ as ████████████ of the ████████'s ███████.

██████- and ████████-██████████ █████████

The ██████ ██████████ ████████ of a ████ ██████ ████████ ⁠ $█$ ⁠ is the ████████ █████ of ${\textstyle e^{tX}}$ , as a ████████ of the ████ █████████ ⁠ $█$ ⁠. For a ██████ ████████████ with ███████ ⁠ $█$ ⁠, ████ ⁠ $\mu$ ⁠ and ████████ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , the ██████ ██████████ ████████ ██████ and is █████ to

$M(t)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]={\hat {f}}(it)=e^{\mu t}e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}\,.$ For ███ ⁠ $█$ ⁠, the ███████████ of ⁠ $t^{k}/k!$ ⁠ in the ██████ ██████████ ████████ (█████████ as an ███████████ █████ ██████ in ⁠ $█$ ⁠) is the ██████ ████████████'s ████████ █████ ⁠ $\operatorname {E} [X^{k}]$ ⁠.

The ████████ ██████████ ████████ is the █████████ of the ██████ ██████████ ████████, ██████ $g(t)=\ln M(t)=\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\,.$

The ████████████ of this ███████████ █████ ██████ ██████ the █████████, but because this is a █████████ ██████████ in ⁠ $█$ ⁠, ████ the █████ ███ █████████ are ███████, ██████ the ████ ⁠ $\mu$ ⁠ and the ████████ ⁠ $\sigma ^{2}$ ⁠.

Some ███████ ██████ to ███████ ████ with the ██████████████ ████████ █[█^███] = █^{███ − █^██^█/█} and ██ █[█^███] = ███ − ⁠█/█⁠█^██^█.

█████ ████████ and █████

Within █████'s ██████ the █████ ████████ and █████ of a ██████ ████████ ${\textstyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ are ${\textstyle {\mathcal {A}}f(x)=\sigma ^{2}f'(x)-(x-\mu )f(x)}$ and ${\textstyle {\mathcal {F}}}$ the █████ of ███ ██████████ ██████████ █████████ ⁠ $\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ⁠ ████ that ⁠ $\operatorname {E} [\vert f'(X)\vert ]<\infty$ ⁠.

████-████████ █████

In the █████ ████ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ ██████████ ████, the ███████████ ███████ ${\textstyle f}$ ██████████ ████ ██████████ except at ${\textstyle \mu }$ , █████ it ██████████ ${\textstyle \infty }$ , █████ ███ ████████ ███████ █████ to █. An █████████ of the ██████ ████████████ to the ████ with ████ ████████ can be ███████ using the █████ █████ ███████ ${\textstyle \delta _{\mu }}$ , ████████ the █████████ ██████ █████████ are not ██████████ ██████████ and ████ do not have ███████████ ███████ █████████. The ██████████ ████████████ ████████ of ████ a ██████ ████████ is ████ the █████████ ████ ████████ ██████████ by the ████ ${\textstyle \mu }$ , ██████ $F(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<\mu \\1&{\text{if }}x\geq \mu .\end{cases}}$

███████ ███████

Of ███ ███████████ █████████████ over the █████ with a █████████ ██████ ████ ⁠ $\mu$ ⁠ and ██████ ████████ ⁠ $\sigma ^{2}$ ⁠, the ██████ ████████████ ${\textstyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ is the ███ with ███████ ███████. To ███ this, ███ ⁠ $█$ ⁠ be a ██████████ ██████ ████████ with ███████████ ███████ ⁠ $f(x)$ ⁠. The ███████ of ⁠ $█$ ⁠ is ███████ as $H(X)=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln f(x)\,dx\,,$ █████ ${\textstyle f(x)\log f(x)}$ is ██████████ to be ████ ████████ ⁠ $f(x)=0$ ⁠. This ██████████ can be █████████, ███████ to the ███████████ that the ████████████ is ████████ ██████████ and has a █████████ ████ and ████████, by using ███████████ ████████. A ████████ with █████ ████████ ███████████ is ███████: $L=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln f(x)\,dx-\lambda _{0}\left(1-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx\right)-\lambda _{1}\left(\mu -\int _{-\infty }^{\infty }f(x)x\,dx\right)-\lambda _{2}\left(\sigma ^{2}-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)(x-\mu )^{2}\,dx\right)\,.$

At ███████ ███████, a █████ █████████ ${\textstyle \delta f(x)}$ about ${\textstyle f(x)}$ will ███████ a █████████ ${\textstyle \delta L}$ about ⁠ $█$ ⁠ which is █████ to █: $0=\delta L=\int _{-\infty }^{\infty }\delta f(x)\left(-\ln f(x)-1+\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}(x-\mu )^{2}\right)\,dx\,.$

Since this ████ ████ for ███ █████ ⁠ $\delta f(x)$ ⁠, the ██████ ███████████ ⁠ $\delta f(x)$ ⁠ ████ be ████, and ███████ for ⁠ $f(x)$ ⁠ ██████: $f(x)=\exp \left(-1+\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}(x-\mu )^{2}\right)\,.$

The ████████ ███████████ that ⁠ $f(x)$ ⁠ is ████████ ██████████ and has the █████████ ████ and ████████ are █████████ if and ████ if ⁠ $\lambda _{0}$ ⁠, ⁠ $\lambda _{1}$ ⁠, and ⁠ $\lambda _{2}$ ⁠ are ██████ ██ that $f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,.$ The ███████ of a ██████ ████████████ ${\textstyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ is █████ to $H(X)={\tfrac {1}{2}}(1+\ln 2\sigma ^{2}\pi )\,,$ which is ███████████ of the ████ ⁠ $\mu$ ⁠.

█████ ██████████

If the ██████████████ ████████ ${\textstyle \phi _{X}}$ of some ██████ ████████ ⁠ $█$ ⁠ is of the ████ ${\textstyle \phi _{X}(t)=\exp Q(t)}$ in a ████████████ of ████, █████ ${\textstyle Q(t)}$ is a ██████████, ████ the █████████████ ███████ (█████ after █████ █████████████) ███████ that ⁠ $█$ ⁠ can be at ████ a █████████ ██████████, and █████████ ⁠ $█$ ⁠ is a ██████ ██████ ████████. The ███████████ of this ██████ is that the ██████ ████████████ is the ████ ████████████ with a ██████ ██████ (███) of ███-████ █████████.
If ⁠ $█$ ⁠ and ⁠ $█$ ⁠ are ███████ ██████ and ████████████, ████ they are ███████████. The ███████████ that ⁠ $█$ ⁠ and ⁠ $█$ ⁠ ██████ be ███████ ██████ is █████████; without it the ████████ ████ not ████.^{[█████]} For ███-██████ ██████ █████████ ████████████████ ████ not █████ ████████████.
The ████████–███████ ██████████ of ███ ██████ ████████████ ${\textstyle X_{1}\sim N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}$ from ███████ ${\textstyle X_{2}\sim N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$ is █████ by: $D_{\mathrm {KL} }(X_{1}\parallel X_{2})={\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}-1-\ln {\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right)$ The █████████ ████████ between the ████ █████████████ is █████ to $H^{2}(X_{1},X_{2})=1-{\sqrt {\frac {2\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}\exp \left(-{\frac {1}{4}}{\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}\right)$
The ██████ ███████████ ██████ for a ██████ ████████████ █.█.█. ⁠ $\mu$ ⁠ and ${\textstyle \sigma ^{2}}$ is ████████ and █████ the ████ ${\mathcal {I}}(\mu ,\sigma ^{2})={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sigma ^{2}}}&0\\0&{\frac {1}{2\sigma ^{4}}}\end{pmatrix}}$
The █████████ █████ of the ████ of a ██████ ████████████ is ███████ ██████ ████████████. ████████████, if ${\textstyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ are ███ ${\textstyle \sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ and the █████ is ${\textstyle \mu \sim N(\mu _{0},\sigma _{0}^{2})}$ , ████ the █████████ ████████████ for the █████████ of ⁠ $\mu$ ⁠ will be $\mu \mid x_{1},\ldots ,x_{n}\sim {\mathcal {N}}\left({\frac {{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\mu _{0}+\sigma _{0}^{2}{\bar {x}}}{{\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\sigma _{0}^{2}}},\left({\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}\right)^{-1}\right)$
The ██████ of ██████ █████████████ not ████ █████ an ███████████ ██████ (██), but in ████ █████ a ███████ ███████████ ██████ (███) with █████████ ████████ ████████ (███-███). ████ ██████████ of ██████ █████████████ ██████████ to ██████████ of ███-███ █████████████, ███ █████████████, or ██ █████████████ █████████. ███-███ █████████████ █████████ █ ████████, █████████ ███████, █████, ████████, and ████████ ████████ █████████████, █████ ████ of the ██████ ████████ ███████ in ███████████ and ██████████ are ███ or ██.
In ███████████ ████████, the ██████ of ██████ █████████████ █████ a ███████████ ████████ with ████████ █████████ ⁠ $-1$ ⁠. The ████ ██████ is ████ with ███████ to the (±█)-███████████ ${\textstyle \nabla ^{(e)}}$ and ${\textstyle \nabla ^{(m)}}$ .
If ${\textstyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ are ███████████ █████████ to ${\textstyle N(0,\sigma ^{2})}$ , ████ ${\textstyle E[\max _{i}X_{i}]\leq \sigma {\sqrt {2\ln n}}}$ . ████ that there is ██ ██████████ of ████████████.

███████ █████████████

███████ █████ ███████

The ███████ █████ ███████ ██████ that under ███████ (██████ ██████) ██████████, the ███ of ████ ██████ █████████ will have an █████████████ ██████ ████████████. ████ ████████████, █████ ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ are ███████████ and ███████████ ███████████ ██████ █████████ with the ████ █████████ ████████████, ████ ████, and ████████ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ and ⁠ $█$ ⁠ is █████ ████ ██████ by ${\textstyle {\sqrt {n}}}$ $Z={\sqrt {n}}{\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}{\biggr )}$ ████, as ⁠ $█$ ⁠ █████████, the ███████████ ████████████ of ⁠ $█$ ⁠ will ████ to the ██████ ████████████ with ████ ████ and ████████ ⁠ $\sigma ^{2}$ ⁠.

The ███████ can be ████████ to █████████ ${\textstyle (X_{i})}$ that are not ███████████ and/or not ███████████ ███████████ if ███████ ███████████ are ██████ on the ██████ of ██████████ and the ███████ of the █████████████.

████ ████ ██████████, ██████, and ██████████ ███████████ in ████████ ███████ ████ of ███████ ██████ █████████ in ████, and ████ ████ ██████████ can be ███████████ as ████ of ██████ █████████ through the use of █████████ █████████. The ███████ █████ ███████ ███████ that █████ ███████████ ██████████ will have ██████████████ ██████ █████████████.

The ███████ █████ ███████ ████ ███████ that ███████ █████████████ can be ████████████ by the ██████ ████████████, for ███████:

The ████████ ████████████ ${\textstyle B(n,p)}$ is █████████████ ██████ with ████ ${\textstyle np}$ and ████████ ${\textstyle np(1-p)}$ for █████ ⁠ $█$ ⁠ and for ⁠ $█$ ⁠ not ███ █████ to █ or █.
The ███████ ████████████ with █████████ ⁠ $\lambda$ ⁠ is █████████████ ██████ with ████ ⁠ $\lambda$ ⁠ and ████████ ⁠ $\lambda$ ⁠, for █████ ██████ of ⁠ $\lambda$ ⁠.
The ███-███████ ████████████ ${\textstyle \chi ^{2}(k)}$ is █████████████ ██████ with ████ ⁠ $█$ ⁠ and ████████ ${\textstyle 2k}$ , for █████ ⁠ $█$ ⁠.
The ███████'s █-████████████ ${\textstyle t(\nu )}$ is █████████████ ██████ with ████ █ and ████████ █ ████ ⁠ $\nu$ ⁠ is █████.

███████ █████ ██████████████ are ████████████ ████████ ███████ on the ███████ for which they are ██████, and the ████ of ███████████ to the ██████ ████████████. It is █████████ the ████ that ████ ██████████████ are ████ ████████ in the █████ of the ████████████.

A ███████ █████ █████ for the █████████████ █████ in the ███████ █████ ███████ is █████ by the █████–██████ ███████, ████████████ of the █████████████ are █████ by the █████████ ██████████.

This ███████ can ████ be used to ███████ ████████ the ███ of ████ ███████ █████ ███████ as ████████ █████. ███ ████.

██████████ and █████████ of ██████ █████████

██████████ on a ██████ ██████ ████████

If ⁠ $█$ ⁠ is ███████████ ████████ with ████ ⁠ $\mu$ ⁠ and ████████ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , ████

${\textstyle aX+b}$ , for ███ ████ ███████ ⁠ $a$ ⁠ and ⁠ $█$ ⁠, is ████ ████████ ███████████, with ████ ${\textstyle a\mu +b}$ and ████████ ${\textstyle a^{2}\sigma ^{2}}$ . That is, the ██████ of ██████ █████████████ is ██████ under ██████ ███████████████.
The ███████████ of ⁠ $█$ ⁠ is ███████████ ███-████████: ${\textstyle e^{X}\sim \ln(N(\mu ,\sigma ^{2}))}$ .
The ████████ ███████ of ⁠ $█$ ⁠ is █████-████████ ███████████: ${\textstyle \sigma (X)\sim P({\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2}))}$ .
The ████████ █████ of ⁠ $█$ ⁠ has ██████ ██████ ████████████: ${\textstyle {\left|X\right|\sim N_{f}(\mu ,\sigma ^{2})}}$ . If ${\textstyle \mu =0}$ this is █████ as the ████-██████ ████████████.
The ████████ █████ of ██████████ █████████, ${\textstyle |X-\mu |/\sigma }$ , has ███ ████████████ with ███ ██████ of ███████: ${\textstyle |X-\mu |/\sigma \sim \chi _{1}}$ .
The ██████ of ${\textstyle X/\sigma }$ has the ██████████ ███-███████ ████████████ with ███ ██████ of ███████: ${\textstyle X^{2}/\sigma ^{2}\sim \chi _{1}^{2}(\mu ^{2}/\sigma ^{2})}$ . If ${\textstyle \mu =0}$ , the ████████████ is ██████ ██████ ███-███████.
The ███-██████████ of a ██████ ████████ ⁠ $█$ ⁠ is ██████ the ███ of ███ ███████████ ███████ ████████: $\ln p(x)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}-\ln \left(\sigma {\sqrt {2\pi }}\right).$ Since this is a ██████ and ███████ ██████ of a ████████ ██████ ████████, it is ███████████ as a ██████ and ███████ ███-███████ ████████.
The ████████████ of the ████████ ⁠ $█$ ⁠ ██████████ to an ████████ ${\textstyle [a,b]}$ is ██████ the █████████ ██████ ████████████.
${\textstyle (X-\mu )^{-2}}$ has a ████ ████████████ with ████████ █ and █████ ${\textstyle \sigma ^{-2}}$ .

██████████ on ███ ███████████ ██████ █████████

If ${\textstyle X_{1}}$ and ${\textstyle X_{2}}$ are ███ ███████████ ██████ ██████ █████████, with █████ ${\textstyle \mu _{1}}$ , ${\textstyle \mu _{2}}$ and █████████ ${\textstyle \sigma _{1}^{2}}$ , ${\textstyle \sigma _{2}^{2}}$ , ████ █████ ███ ${\textstyle X_{1}+X_{2}}$ will ████ be ████████ ███████████,^{[█████]} with ████ ${\textstyle \mu _{1}+\mu _{2}}$ and ████████ ${\textstyle \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$ .
In ██████████, if ⁠ $█$ ⁠ and ⁠ $█$ ⁠ are ███████████ ██████ ████████ with ████ ████ and ████████ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , ████ ${\textstyle X+Y}$ and ${\textstyle X-Y}$ are ████ ███████████ and ████████ ███████████, with ████ ████ and ████████ ${\textstyle 2\sigma ^{2}}$ . This is a ███████ ████ of the ████████████ ████████.
If ${\textstyle X_{1}}$ , ${\textstyle X_{2}}$ are ███ ███████████ ██████ ████████ with ████ ⁠ $\mu$ ⁠ and ████████ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , and ⁠ $a$ ⁠, ⁠ $█$ ⁠ are █████████ ████ ███████, ████ the ████████ $X_{3}={\frac {aX_{1}+bX_{2}-(a+b)\mu }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+\mu$ is ████ ████████ ███████████ with ████ ⁠ $\mu$ ⁠ and ████████ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ . It ███████ that the ██████ ████████████ is ██████ (with ████████ ${\textstyle \alpha =2}$ ).
If ${\textstyle X_{k}\sim {\mathcal {N}}(m_{k},\sigma _{k}^{2})}$ , ${\textstyle k\in \{0,1\}}$ are ██████ █████████████, ████ █████ ██████████ █████████ ████ ${\textstyle {\frac {1}{\int _{\mathbb {R} ^{n}}X_{0}^{\alpha }(x)X_{1}^{1-\alpha }(x)\,{\text{d}}x}}X_{0}^{\alpha }X_{1}^{1-\alpha }}$ is a ██████ ████████████ ${\textstyle {\mathcal {N}}(m_{\alpha },\sigma _{\alpha }^{2})}$ with ${\textstyle m_{\alpha }={\frac {\alpha m_{0}\sigma _{1}^{2}+(1-\alpha )m_{1}\sigma _{0}^{2}}{\alpha \sigma _{1}^{2}+(1-\alpha )\sigma _{0}^{2}}}}$ and ${\textstyle \sigma _{\alpha }^{2}={\frac {\sigma _{0}^{2}\sigma _{1}^{2}}{\alpha \sigma _{1}^{2}+(1-\alpha )\sigma _{0}^{2}}}}$ .

██████████ on ███ ███████████ ████████ ██████ █████████

If ${\textstyle X_{1}}$ and ${\textstyle X_{2}}$ are ███ ███████████ ████████ ██████ ██████ █████████ with ████ █ and ████████ █, ████

█████ ███ and ██████████ is ███████████ ████████ with ████ ████ and ████████ ███: ${\textstyle X_{1}\pm X_{2}\sim {\mathcal {N}}(0,2)}$ .
█████ ███████ ${\textstyle Z=X_{1}X_{2}}$ ███████ the ███████ ████████████ with ███████ ████████ ${\textstyle f_{Z}(z)=\pi ^{-1}K_{0}(|z|)}$ █████ ${\textstyle K_{0}}$ is the ████████ ██████ ████████ of the ██████ ████. This ████████████ is █████████ around ████, █████████ at ${\textstyle z=0}$ , and has the ██████████████ ████████ ${\textstyle \phi _{Z}(t)=(1+t^{2})^{-1/2}}$ .
█████ █████ ███████ the ████████ ██████ ████████████: ${\textstyle X_{1}/X_{2}\sim \operatorname {Cauchy} (0,1)}$ .
█████ █████████ ████ ${\textstyle {\sqrt {X_{1}^{2}+X_{2}^{2}}}}$ has the ████████ ████████████.

██████████ on ████████ ███████████ ██████ █████████

███ ██████ ███████████ of ███████████ ██████ ████████ is a ██████ ███████.
If ${\textstyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ are ███████████ ████████ ██████ ██████ █████████, ████ the ███ of █████ ███████ has the ███-███████ ████████████ with ⁠ $█$ ⁠ ███████ of ███████ $X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}\sim \chi _{n}^{2}.$
If ${\textstyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ are ███████████ ████████ ███████████ ██████ █████████ with █████ ⁠ $\mu$ ⁠ and █████████ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , ████ █████ ██████ ████ is ███████████ from the ██████ ████████ █████████, which can be ████████████ using ████'s ███████ or ███████'s ███████. The █████ of █████ ███ ██████████ will have the ███████'s █-████████████ with ${\textstyle n-1}$ ███████ of ███████: $t={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})-\mu }{\sqrt {{\frac {1}{n(n-1)}}\left[(X_{1}-{\overline {X}})^{2}+\cdots +(X_{n}-{\overline {X}})^{2}\right]}}}\sim t_{n-1}.$
If ${\textstyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ , ${\textstyle Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{m}}$ are ███████████ ████████ ██████ ██████ █████████, ████ the █████ of █████ ██████████ ████ of ███████ will have the █-████████████ with (█, █) ███████ of ███████: $F={\frac {\left(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}\right)/n}{\left(Y_{1}^{2}+Y_{2}^{2}+\cdots +Y_{m}^{2}\right)/m}}\sim F_{n,m}.$

██████████ on ████████ ██████████ ██████ █████████

A █████████ ████ of a ██████ ██████, █.█. a █████████ ████████ ${\textstyle q=\sum x_{i}^{2}+\sum x_{j}+c}$ of ████████ ███████████ or ██████████ ██████ █████████, is a ███████████ ███-██████ ████████.

██████████ on the ███████ ████████

The █████ ██████ ████████████ is ████ ████████ ███████ in █████ of ███████ ██████ ████████ of the ███████ █████████ of █████████ ██████ █████████████ and █████████ the ███████ to █████████ to ███. The █████████ ██████ ████████████ ███████ from █████████ a ███████ of a ██████ ███████ ████████.

████████ ████████████ and ██████'s ███████

For ███ ████████ ███████ █, ███ ██████ ████████████ with ████ ⁠ $\mu$ ⁠ and ████████ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ is the ████████████ of the ███ of █ ███████████ ██████ ████████, ████ with ████ ${\textstyle {\frac {\mu }{n}}}$ and ████████ ${\textstyle {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}$ . This ████████ is ██████ ████████ ████████████.

██████████, if ${\textstyle X_{1}}$ and ${\textstyle X_{2}}$ are ███████████ ██████ █████████ and █████ ███ ${\textstyle X_{1}+X_{2}}$ has a ██████ ████████████, ████ ████ ${\textstyle X_{1}}$ and ${\textstyle X_{2}}$ ████ be ██████ ████████.

This ██████ is █████ as ██████'s █████████████ ███████, and is ██████████ to ██████ that the ███████████ of ███ █████████████ is ██████ if and ████ if ████ are ██████. ██████'s ███████ ███████ that a ██████ ███████████ of ███████████ ███-████████ █████████ will █████ have an ███████ ██████ ████████████, ████████ it ███ ████████ it ███████████ ███████.

The ███–█████████ ███████

The ███–█████████ ███████ ██████ that if ${\textstyle X}$ and ⁠ $█$ ⁠ are ███████████ and ${\textstyle X+Y}$ and ${\textstyle X-Y}$ are ████ ███████████, ████ ████ █ and █ ████ ███████████ have ██████ █████████████.

████ █████████, if ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ are ███████████ ██████ █████████, ████ ███ ████████ ██████ ████████████ ${\textstyle \sum {a_{k}X_{k}}}$ and ${\textstyle \sum {b_{k}X_{k}}}$ will be ███████████ if and ████ if ███ ${\textstyle X_{k}}$ are ██████ and ${\textstyle \sum {a_{k}b_{k}\sigma _{k}^{2}=0}}$ , █████ ${\textstyle \sigma _{k}^{2}}$ ███████ the ████████ of ${\textstyle X_{k}}$ .

██████████

The ██████ of ██████ ████████████, being ███ of the ████ █████████ █████████████ in ███████████ ██████, has been ████████ ███ beyond the ████████ █████████ of the ██████████ (that is ███-███████████) ████ (████ █). ███ █████ ██████████ are ████ ██████ ██████ or ████████ ████, ██ a ███████ █████████ in █████ ██████.

The ████████████ ██████ ████████████ █████████ the ████████ ███ in the █-███████████ █████████ █████. A ██████ █ ∈ █^█ is ████████████-████████ ███████████ if ███ ██████ ███████████ of ███ ██████████ █^█_█=█a_█ █_█ has a (██████████) ██████ ████████████. The ████████ of █ is a █ × █ █████████ ████████-████████ ██████ █. The ████████████ ██████ ████████████ is a ███████ ████ of the ██████████ █████████████. As ████, ███ ███-███████ ████ in the █ = █ ████ are ████████ and in the ████ of █████████ █ are ██████████.
█████████ ████████ ████████████ a █████████ ███████ of ██████ ████████████ with ███ the ████████ ████████ █████ to █.
███████ ██████ ████████████ █████ with the ███████ ██████ ███████. A ███████ ██████ █ ∈ █^█ is ████ to be ██████ if ████ ███ ████ and █████████ ██████████ ███████ ███████ a ██-███████████ ████████████ ██████ ████████████. The ████████-██████████ █████████ of █ is █████████ by ███ ████████: the ████████ ██████ █, and the ████████ ██████ █.
██████ ██████ ████████████ █████████ the ████ of ████████ ███████████ ████████.
████████ █████████ are the ████████ ███████████ ██████████ █████████. █████ can be ██████ as ████████ of some ████████-███████████ ███████ █████ █, and ████ are the █████████ of ████████████ ██████ ███████ for the ████ █ = ∞. A ██████ ███████ █ ∈ █ is ████ to be ██████ if for ███ ████████ a ∈ █ the ██████ ███████ (a, █) has a (██████████) ██████ ████████████. The ████████ █████████ of ████ ████████ ██████ ███████ can be █████████ in █████ of the ██████ ██████████ ████████ █: █ → █. ███████ ████████ █████████ ██████ ███████ ██████ to have █████ ███ █████:
- ████████ ██████;
- ████████ ██████; and
- ████████–█████████ ███████.
████████ █-████████████ is an ████████ ████████████ ████████████ that ██████████ a █-████████ of the ██████ ████████████.
the █-████████ is an ████████ of the ████████ ████████████, in the █████ that it █████████ the ███████ ███████, and is ███ ████ of ███████ ████████████. This ████████████ is █████████ from the ████████ █-████████████ above.
The ██████████ █-████████ ████████████ is a ██████████████ of the ████████ ████████████ which ██████ from the ██████████ ██████████, being ███ of the ██████████ █████████████.

A ██████ ████████ █ has a ███-█████ ██████ ████████████ if it has a ████████████ $f_{X}(x)={\begin{cases}N(\mu ,\sigma _{1}^{2}),&{\text{ if }}x\leq \mu \\N(\mu ,\sigma _{2}^{2}),&{\text{ if }}x\geq \mu \end{cases}}$ █████ █ is the ████ and ███ and ███ are the █████████ of the ████████████ to the ████ and █████ of the ████ ████████████.

The ████ █(█), ████████ █(█), and █████ ███████ ██████ █(█) of this ████████████ have been ██████████ ${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=\mu +{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(\sigma _{2}-\sigma _{1}),\\\operatorname {V} (X)&=\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right)(\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2}+\sigma _{1}\sigma _{2},\\\operatorname {T} (X)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(\sigma _{2}-\sigma _{1})\left[\left({\frac {4}{\pi }}-1\right)(\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2}+\sigma _{1}\sigma _{2}\right].\end{aligned}}$

███ of the ████ █████████ uses of the ████████ ███ is to █████ the █████████ █████████████ of ████ █████████ ██████ █████████ ███████████ in ████████. In ████ ████ a ████████ █████████ █████ be a ██████ ██████ of █████████████, ██████ ████ than ███ ██████████ and █████████ being ████ to ███ the █████████ ████████████ ████ ██████████. The ████████ of ████ ██████████ are:

███████ ████████████ — a ████-█████████ ██████ of ███████████ █████████████ that ██████ the ██████ ███ to ███████ █████████ ████████ and ████████ ██████.
The ███████████ ██████ ████████████, ████ █████ as the ███████████ █████ ████████████, ██████ for ████████████ █████ with ███████ or ███████ ██████████ █████████.

███████████ █████████

██████████ of ██████████

It is █████ the ████ that ██ do not ████ the ██████████ of the ██████ ████████████, but ███████ ████ to ████████ ████. That is, ██████ a ██████ ${\textstyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ from a ██████ ${\textstyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ██████████ ██ █████ like to █████ the ███████████ ██████ of ██████████ ⁠ $\mu$ ⁠ and ${\textstyle \sigma ^{2}}$ . The ████████ ████████ to this ███████ is the ███████ ██████████ ██████, which ████████ ████████████ of the ███-██████████ ████████: ${\begin{aligned}\ln {\mathcal {L}}(\mu ,\sigma ^{2})&=\sum _{i=1}^{n}\ln f(x_{i}\mid \mu ,\sigma ^{2})\\&=-{\frac {n}{2}}\ln(2\pi )-{\frac {n}{2}}\ln \sigma ^{2}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}.\end{aligned}}$ ██████ ███████████ with ███████ to ⁠ $\mu$ ⁠ and ${\textstyle \sigma ^{2}}$ and ███████ the █████████ ██████ of █████ █████ ██████████ ██████ the ███████ ██████████ █████████: ${\hat {\mu }}={\overline {x}}\equiv {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},\qquad {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.$

████ ${\textstyle \ln {\mathcal {L}}({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}^{2})}$ is as ███████: $\ln {\mathcal {L}}({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}^{2})=-{\frac {n}{2}}[\ln \left(2\pi {\hat {\sigma }}^{2}\right)+1]$

██████ ████

█████████ $\textstyle {\hat {\mu }}$ is ██████ the ██████ ████, since it is the ██████████ ████ of ███ ████████████. The █████████ $\textstyle {\overline {x}}$ is ████████ and ██████████ for ⁠ $\mu$ ⁠, and █████████ by the ███████–███████ ███████, $\textstyle {\hat {\mu }}$ is the █████████ ███████ ████████ ████████ (████) █████████. In ██████ ███████ it is ███████████ ████████: ${\hat {\mu }}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}/n).$ The ████████ of this █████████ is █████ to the ██-███████ of the ███████ ██████ ███████████ ██████ $\textstyle {\mathcal {I}}^{-1}$ . This ███████ that the █████████ is ██████-██████ █████████. Of █████████ ██████████ is the ████████ █████ of $\textstyle {\hat {\mu }}$ being ████████████ to $\textstyle 1/{\sqrt {n}}$ , that is, if ███ ██████ to ████████ the ████████ █████ by a ██████ of ██, ███ ████ ████████ the ██████ of ██████ in the ██████ by a ██████ of ███. This ████ is ██████ used in ███████████ ██████ █████ for ███████ █████ and the ██████ of ██████ in █████ █████ ███████████.

From the ██████████ of the ██████████ ██████, $\textstyle {\hat {\mu }}$ is ██████████, that is, it █████████ in ███████████ to ⁠ $\mu$ ⁠ as ${\textstyle n\rightarrow \infty }$ . The █████████ is ████ ██████████████ ██████, which is a ██████ █████████ of it being ██████ in ██████ ███████: ${\sqrt {n}}({\hat {\mu }}-\mu )\,\xrightarrow {d} \,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}).$

██████ ████████

The █████████ $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ is ██████ the ██████ ████████, since it is the ████████ of the ██████ ( ${\textstyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ). In ████████, ███████ █████████ is █████ used ███████ of the $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ . This █████ █████████ is ███████ ${\textstyle s^{2}}$ , and is ████ ██████ the ██████ ████████, which ██████████ a ███████ █████████ in ███████████; ███ ██████ ████ ⁠ $█$ ⁠ is ██████ the ██████ ████████ █████████. The █████████ ${\textstyle s^{2}}$ ███████ from $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ by ██████ (█ − █) ███████ of █ in the ███████████ (the ██-██████ ██████'s ██████████): $s^{2}={\frac {n}{n-1}}{\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.$ The ██████████ between ${\textstyle s^{2}}$ and $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ ███████ ██████████ █████ for █████ █'s. In ██████ ███████ ███████, the ██████████ behind the use of ${\textstyle s^{2}}$ is that it is an ████████ █████████ of the ██████████ █████████ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , ███████ $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ is ██████. ████, by the ███████–███████ ███████ the █████████ ${\textstyle s^{2}}$ is █████████ ███████ ████████ ████████ (████), which █████ it the "████" █████████ among ███ ████████ ████. ███████ it can be █████ that the ██████ █████████ $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ is ██████ than the ${\textstyle s^{2}}$ in █████ of the ████ ███████ █████ (███) █████████. In ██████ ███████ ████ ${\textstyle s^{2}}$ and $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ have ██████ ███-███████ ████████████ with (█ − █) ███████ of ███████: $s^{2}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\cdot \chi _{n-1}^{2},\qquad {\hat {\sigma }}^{2}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n}}\cdot \chi _{n-1}^{2}.$ The █████ of █████ ███████████ █████ that the ████████ of ${\textstyle s^{2}}$ is █████ to ${\textstyle 2\sigma ^{4}/(n-1)}$ , which is ████████ ███████ than the ██-███████ of the ███████ ██████ ███████████ ██████ $\textstyle {\mathcal {I}}^{-1}$ , which is ${\textstyle 2\sigma ^{4}/n}$ . ████, ${\textstyle s^{2}}$ is not an █████████ █████████ for ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , and ████████, since ${\textstyle s^{2}}$ is ████, ██ can ████████ that the ██████-██████ █████████ █████████ for ${\textstyle \sigma ^{2}}$ ████ not █████.

████████ the ██████████ ██████, ████ ██████████ ${\textstyle s^{2}}$ and $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ are ██████████, that is they ████████ in ███████████ to ${\textstyle \sigma ^{2}}$ as the ██████ ████ ${\textstyle n\rightarrow \infty }$ . The ███ ██████████ are ████ ████ ██████████████ ██████: ${\sqrt {n}}({\hat {\sigma }}^{2}-\sigma ^{2})\simeq {\sqrt {n}}(s^{2}-\sigma ^{2})\,\xrightarrow {d} \,{\mathcal {N}}(0,2\sigma ^{4}).$ In ██████████, ████ ██████████ are ██████████████ █████████ for ${\textstyle \sigma ^{2}}$ .

██████████ █████████

By ███████'s ███████, for ██████ █████████████ the ██████ ████ $\textstyle {\hat {\mu }}$ and the ██████ ████████ █^█ are ███████████, which █████ there can be ██ ████ in considering █████ █████ ████████████. There is ████ a ████████ ███████: if in a ██████ the ██████ ████ and ██████ ████████ are ███████████, ████ the ██████ ████ have ████ from the ██████ ████████████. The ████████████ between $\textstyle {\hat {\mu }}$ and █ can be ████████ to █████████ the ██-██████ █-█████████: $t={\frac {{\hat {\mu }}-\mu }{s/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\overline {x}}-\mu }{\sqrt {{\frac {1}{n(n-1)}}\sum (x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}\sim t_{n-1}$ This ████████ █ has the ███████'s █-████████████ with (█ − █) ███████ of ███████, and it is an █████████ █████████ (███████████ of the █████ of the ██████████). █████████ the ████████████ of this █-██████████ will █████ ██ to █████████ the ██████████ ████████ for █; █████████, █████████ the █^█ ████████████ of the █████████ █^█ will ████ ██ the ██████████ ████████ for █^█: $\mu \in \left[{\hat {\mu }}-t_{n-1,1-\alpha /2}{\frac {s}{\sqrt {n}}},\,{\hat {\mu }}+t_{n-1,1-\alpha /2}{\frac {s}{\sqrt {n}}}\right]$ $\sigma ^{2}\in \left[{\frac {n-1}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}^{2}}}s^{2},\,{\frac {n-1}{\chi _{n-1,\alpha /2}^{2}}}s^{2}\right]$ █████ █_█,█ and █ ██,█ are the ███ █████████ of the █- and █^█-█████████████ ████████████. █████ ██████████ █████████ are of the ██████████ █████ █ − █, ███████ that the ████ ██████ █ and █^█ ████ outside of █████ █████████ with ███████████ (or ████████████ █████) █. In ████████ ██████ ███████ ████ █ = █%, █████████ in the ██% ██████████ █████████. The ██████████ ████████ for █ can be █████ by ██████ the ██████ ████ of the ████████ ██████ for █^█.

███████████ ████████ can be ███████ from the ██████████ █████████████ of $\textstyle {\hat {\mu }}$ and █^█: $\mu \in \left[{\hat {\mu }}-{\frac {|z_{\alpha /2}|}{\sqrt {n}}}s,\,{\hat {\mu }}+{\frac {|z_{\alpha /2}|}{\sqrt {n}}}s\right]$ $\sigma ^{2}\in \left[s^{2}-{\sqrt {2}}{\frac {|z_{\alpha /2}|}{\sqrt {n}}}s^{2},\,s^{2}+{\sqrt {2}}{\frac {|z_{\alpha /2}|}{\sqrt {n}}}s^{2}\right]$ The ███████████ ████████ ██████ █████ for █████ ██████ of █, and are ████ ██████████ for the ██████ ███████████ since the ████████ ██████ █████████ █_█/█ do not ██████ on █. In ██████████, the ████ ███████ █████ of █ = █%, ███████ in |█_{█.███}| = █.██.

█████████ █████

█████████ █████ ██████ the ██████████ that the █████ ████ ███ {█_█, ..., █_█} █████ from a ██████ ████████████. █████████ the ████ ██████████ █_█ is that the ████████████ are ███████████ ████████ with ███████████ ████ █ and ████████ █^█, versus the ███████████ █_a that the ████████████ is █████████. ████ █████ (over ██) have been ███████ for this ███████. The ████ █████████ of ████ are ████████ below:

██████████ █████ are ████ ███████████ █████████ but ██████████ at the ████ ████, as they ████ on ████████ █████ █████████ to ██████ or ██████ the ████ ██████████.

█–█ ████, ████ █████ as ██████ ███████████ ████ or ██████ ████—is a ████ of the ██████ ██████ from the ████ ███ against the ████████ ██████ of the █████████████ █████████ from the ████████ ██████ ████████████. That is, it is a ████ of █████ of the ████ (█^−█(█_█), █_(█)), █████ ████████ ██████ █_█ are █████ to █_█ = (█ − █)/(█ + █ − ██) and █ is an ██████████ ████████, which can be ████████ between █ and █. If the ████ ██████████ is ████, the ███████ ██████ ██████ █████████████ ███ on a ████████ ████.
█–█ ████ – ███████ to the █–█ ████, but used ████ ████ ██████████. This ██████ ████████ of ████████ the ██████ (█(█_(█)), █_█), █████ ${\textstyle \textstyle z_{(k)}=(x_{(k)}-{\hat {\mu }})/{\hat {\sigma }}}$ . For ████████ ███████████ ████ this ████ ██████ ███ on a ████████ ████ between (█, █) and (█, █).

████████-of-███ █████:

██████-█████ █████:

█'████████'s █-███████ ████
██████–████ ████
███████–████ ████: This is █████ on the ████ in the █–█ ████ ██████ the █████ of █. The ████ ████████ the █████ ███████ ████████ of that █████ with the █████ of the ██████ ████████, and ███████ the ████ ██████████ if █████ ███ ██████████ ██████ █████████████.

█████ █████ on the █████████ ████████████ ████████:

████████–███████ ████
██████████ ████ (an ██████████ of the ██████████–███████ ████)

████████ ████████ of the ██████ ████████████

████████ ████████ of ████████ ███████████ ████ is ███████████ by the ████ █████████ █████████████ that ███ be ██████████:

██████ the ████, or the ████████, or ███████, ███ be ██████████ a █████ ████████.
████ the ████████ is ███████, ████████ ███ be ████ ████████ in █████ of the ████████, or in █████ of the █████████, the ██████████ of the ████████. The ██████ for ██████████ the ████████ in █████ of █████████ is that the ████████ of ████ █████ is ██████████.
████ ██████████ and ████████████ █████ ████ to be ██████████.
██████ █████████ or ████████ █████ █████████████ ███ be ██████ on the ███████ █████████.
An ██████████ ███ of █████ ██████ in ████████ ██████ ██████████, █████ in the █████ █████ the ████ is ███████ to be ████████ ███████████, and ██████ ██████ are ██████ on the ██████████ ████████████. The █████████ ████████ is ███████ to the █████ █████ of ███████████ ███████████ ███████████ ████.

The ████████ for the ███-██████-██████████ █████ are ██████████ in the █████████ █████ ███████.

███ of ███ ██████████

██████ ████

The following █████████ ███████ is ██████ for ███████████ the █████████ ██████ █████████, which █████████ ██████ ██████ ███████.

$a(x-y)^{2}+b(x-z)^{2}=(a+b)\left(x-{\frac {ay+bz}{a+b}}\right)^{2}+{\frac {ab}{a+b}}(y-z)^{2}$

This ████████ ████████ the ███ of ███ ██████████ in █ by █████████ the ███████, ████████ the █████ in █, and ██████████ the ██████. ████ the following about the ███████ ████████ ███████ ████████ to some of the █████:

The ██████ ${\textstyle {\frac {ay+bz}{a+b}}}$ has the ████ of a ████████ ███████ of █ and █.
${\textstyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}=(a^{-1}+b^{-1})^{-1}.}$ This █████ that this ██████ can be ███████ of as █████████ from a █████████ █████ the ███████████ of ██████████ a and █ ███ ████████, ██ to ███████ a and █ ██████████, it is █████████ to ███████████, ███, and ███████████ the ██████ █████ to ███ ████ into the ████████ █████. This is ███████ the ████ of █████████ █████████ by the ████████ ████, ██ it is not ██████████ that ${\textstyle {\frac {ab}{a+b}}}$ is ███-████ the ████████ ████ of a and █.

██████ ████

A ███████ ███████ can be ███████ for the ███ of ███ ██████ ██████████: If █, █, █ are ███████ of ██████ █, and A and █ are █████████, ██████████ ████████ of ████ ${\textstyle k\times k}$ , ████

${\begin{aligned}&(\mathbf {y} -\mathbf {x} )'\mathbf {A} (\mathbf {y} -\mathbf {x} )+(\mathbf {x} -\mathbf {z} )'\mathbf {B} (\mathbf {x} -\mathbf {z} )\\={}&(\mathbf {x} -\mathbf {c} )'(\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {x} -\mathbf {c} )+(\mathbf {y} -\mathbf {z} )'(\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {B} ^{-1})^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {z} )\end{aligned}}$ █████ $\mathbf {c} =(\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {y} +\mathbf {B} \mathbf {z} )$

The ████ █′ A █ is ██████ a █████████ ████ and is a ██████: $\mathbf {x} '\mathbf {A} \mathbf {x} =\sum _{i,j}a_{ij}x_{i}x_{j}$ In █████ █████, it ████ up ███ ████████ ████████████ of ████████ of █████ of ████████ from █, with a ████████ ███████████ for ████. In ████████, since ${\textstyle x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}}$ , ████ the ███ ${\textstyle a_{ij}+a_{ji}}$ ███████ for ███ off-████████ ████████ of A, and there is ██ ████ of ██████████ in ████████ that A is █████████. ███████████, if A is █████████, ████ the ████ ${\textstyle \mathbf {x} '\mathbf {A} \mathbf {y} =\mathbf {y} '\mathbf {A} \mathbf {x} .}$

███ of ███████████ from the ████

███████ ██████ ███████ is as ███████: $\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}$ █████ ${\textstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$

With █████ ████████

For a ███ of █.█.█. ████████ ███████████ ████ ██████ █ of ████ █ █████ ████ ██████████ █████ █ ███████ ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ with █████ ████████ █^█, the █████████ █████ ████████████ is ████ ████████ ███████████.

This can be █████ ████ ██████ by █████████ the ████████ as the █████████, █.█. using █ = █/█^█. ████ if ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,1/\tau )}$ and ${\textstyle \mu \sim {\mathcal {N}}(\mu _{0},1/\tau _{0}),}$ ██ ███████ as ███████.

█████, the ██████████ ████████ is (using the ███████ above for the ███ of ███████████ from the ████): ${\begin{aligned}p(\mathbf {X} \mid \mu ,\tau )&=\prod _{i=1}^{n}{\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau (x_{i}-\mu )^{2}\right)\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\right)\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\tau \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right].\end{aligned}}$

████, ██ ███████ as ███████: ${\begin{aligned}p(\mu \mid \mathbf {X} )&\propto p(\mathbf {X} \mid \mu )p(\mu )\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\tau \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right]{\sqrt {\frac {\tau _{0}}{2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}\right)\\&\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(\tau \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)+\tau _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}\right)\right)\\&\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(n\tau ({\bar {x}}-\mu )^{2}+\tau _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}\right)\right)\\&=\exp \left(-{\frac {1}{2}}(n\tau +\tau _{0})\left(\mu -{\dfrac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}\right)^{2}+{\frac {n\tau \tau _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}\right)\\&\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}(n\tau +\tau _{0})\left(\mu -{\dfrac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}\right)^{2}\right)\end{aligned}}$

In the above ██████████, ██ used the ███████ above for the ███ of ███ ██████████ and ██████████ ███ ████████ ███████ not █████████ █. The ██████ is the ██████ of a ██████ ████████████, with ████ ${\textstyle {\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}}$ and █████████ ${\textstyle n\tau +\tau _{0}}$ , █.█. $p(\mu \mid \mathbf {X} )\sim {\mathcal {N}}\left({\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}},{\frac {1}{n\tau +\tau _{0}}}\right)$

This can be ███████ as a ███ of ████████ ██████ █████████ for the █████████ ██████████ in █████ of the █████ ██████████: ${\begin{aligned}\tau _{0}'&=\tau _{0}+n\tau \\[5pt]\mu _{0}'&={\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}\\[5pt]{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\end{aligned}}$

That is, to ███████ █ ████ ██████ with █████ █████████ of ██ (or ████████████, █████ ████████ of █/█^█) and ████ of ██████ ${\textstyle {\bar {x}}}$ , ██████ a ███ █████ █████████ ██████ by ██████ the █████ █████████ of the ████ to the █████ █████ █████████, and ████ a ███ ████ through a █████████-████████ ███████, █.█. a ████████ ███████ of the ████ ████ and the █████ ████, ████ ████████ by the ██████████ █████ █████████. This █████ ███████ █████ if the █████████ is ███████ of as ██████████ the █████████ of the ████████████: In the ████████████ of the █████████ ████, ████ of the █████ ██████████ is ████████ by ███ █████████, and the █████████ of this ████████████ is the ███ of the ██████████ ███████████. (For the █████████ of this, ███████ the ██████████ "the █████ is (or is not) ███████ than the ███ of ███ █████". In ████████, ████████ that the █████████ of the █████████ █████ from a ███████████ of the █████████ of the █████ and ██████████, ██ it █████ █████ that ██ are ████ ███████ of it than of ██████ of ███ ██████████.)

The above ███████ ███████ ███ it is ████ ██████████ to do ████████ ████████ of █████████ ██████ for the ██████ ████████████ in █████ of the █████████. The █████████ █████████ is ██████ the ███ of the █████ and ██████████ ██████████, and the █████████ ████ is ████████ through a █████████-████████ ███████, as █████████ above. The ████ ████████ can be ███████ in █████ of ████████ by █████████████ ███ the ██████████, ████████ the ████ ████ ████████ ${\begin{aligned}{\sigma _{0}^{2}}'&={\frac {1}{{\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}}}\\[5pt]\mu _{0}'&={\frac {{\frac {n{\bar {x}}}{\sigma ^{2}}}+{\frac {\mu _{0}}{\sigma _{0}^{2}}}}{{\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}}}\\[5pt]{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\end{aligned}}$

With █████ ████

For a ███ of █.█.█. ████████ ███████████ ████ ██████ █ of ████ █ █████ ████ ██████████ █████ █ ███████ ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ with █████ ████ █, the █████████ █████ of the ████████ has an ███████ █████ ████████████ or a ██████ ███████ ███-███████ ████████████. The ███ are ██████████ except for ██████ █████████ █████████████████. ████████ the ███████ █████ is ████ ████████ used, ██ use the ██████ ███████ ███-███████ for the ████ of ███████████. The █████ for █^█ is as ███████: $p(\sigma ^{2}\mid \nu _{0},\sigma _{0}^{2})={\frac {(\sigma _{0}^{2}{\frac {\nu _{0}}{2}})^{\nu _{0}/2}}{\Gamma \left({\frac {\nu _{0}}{2}}\right)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\propto {\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}$

The ██████████ ████████ from above, ███████ in █████ of the ████████, is: ${\begin{aligned}p(\mathbf {X} \mid \mu ,\sigma ^{2})&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\right]\\&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}$ █████ $S=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}.$

████: ${\begin{aligned}p(\sigma ^{2}\mid \mathbf {X} )&\propto p(\mathbf {X} \mid \sigma ^{2})p(\sigma ^{2})\\&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}\right]{\frac {(\sigma _{0}^{2}{\frac {\nu _{0}}{2}})^{\frac {\nu _{0}}{2}}}{\Gamma \left({\frac {\nu _{0}}{2}}\right)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\\&\propto \left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{n/2}{\frac {1}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}+{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\\&={\frac {1}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}+n}{2}}}}}\exp \left[-{\frac {\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+S}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}$

The above is ████ a ██████ ███████ ███-███████ ████████████ █████ ${\begin{aligned}\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\\nu _{0}'{\sigma _{0}^{2}}'&=\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\end{aligned}}$ or ████████████ ${\begin{aligned}\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\{\sigma _{0}^{2}}'&={\frac {\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{\nu _{0}+n}}\end{aligned}}$

████████████████ in █████ of an ███████ █████ ████████████, the ██████ is: ${\begin{aligned}\alpha '&=\alpha +{\frac {n}{2}}\\\beta '&=\beta +{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2}}\end{aligned}}$

With ███████ ████ and ███████ ████████

For a ███ of █.█.█. ████████ ███████████ ████ ██████ █ of ████ █ █████ ████ ██████████ █████ █ ███████ ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ with ███████ ████ █ and ███████ ████████ █^█, a ████████ (████████████) █████████ █████ is ██████ over the ████ and ████████, ██████████ of a ██████-███████-█████ ████████████. █████████, this ██████████ as ███████:

From the ████████ of the ████ with ███████ ████ but █████ ████████, ██ ███ that the ██████ █████████ ███████ ██████████ ██████████ ████████ from the ████ ██████████ of the ████ of the ████ ██████ and the █████ ████████ of the ████ ██████, ████████ in ████ from the █████ ████████ ███████ by the ██████ of ████ ██████.
From the ████████ of the ████ with ███████ ████████ but █████ ████, ██ ███ that the ██████ █████████ ███████ ██████████ ██████████ over the ████ ██████████ of the ██████ of ████ ██████ and ███ of ███████ ██████████.
████ in ████ that the █████████ ██████ ██████ █████ as the █████ ████████████ ████ ███████ ████ is ███████. ████, ██ ██████ █████████ █████ of ███ ██████ in █████ of the ██████████ ██████████ ████ █████████, with the ████ █████████ ████ in ████ as ████ as ████████.
To ██████ the ████ █████ ████ ████ and ████████ are ███████, ██ █████ █████ ███████████ ██████ over the ████ and ████████, with █████ █████████ of the ███████ ████, █████ ████████, ██████ of ████ ██████ used to ███████ the ████████ █████, and ███ of ███████ ██████████. ████ ███████ that in ███████, the █████ ████████ of the ████ ███████ on the ███████ ████████, and the ███ of ███████ ██████████ that ████ into the ████████ █████ (███████ to) ██████ on the ███████ ████. In ████████, the ██████ ██████████ is ██████████ ███████████: ████████ the ██████ ████ ██████ the █████████ ██████ by an █████ ██████, and on ███████ the ███████ ██████████ will ██████ the ████. This is not the ████, ███████, with the █████ ████████ of the ████: As the ███████ ████████ █████████, the █████ ████████ of the ████ will ████████ ███████████████, and ██ █████ like to ███████ this ██████████.
This ████████ that ██ ██████ a ███████████ █████ of the ████ on the ███████ ████████, with a ██████████████ ██████████ the ████ of the ██████-████████████ ██████████ with the █████, and ███████ █████████ ██████████ the ██████ of ██████-████████████. This ██████ ██████ as a ███████ █████████ on the ████████, ██████ it ████████ to ███████ the ███████ ████████ of the ████ ████████ to the ██████ ████████ █████████. The █████ for the ████████ ████ has ███ ███████████████, ███ ██████████ the ███ of ███████ ██████████ of the ██████-████████████ ██████████ with the █████, and ███████ ██████████ ████ █████ the ██████ of ██████-████████████. ████ of the ██████ has a ██████████████ ██████████ the ██████ of ██████-████████████, and in ████ ████ this ████████ the ████████ ████████ of that █████. █████ are █████ as ███ ████████ ███████████████ ██ that the ████████ (███ the ██████████) of the ███ ██████ can be ██████████ ██████████.
This █████ ███████████ to the ██████-███████-█████ ████████████, which is the ███████ of the ███ █████████████ ████ ███████, with █████████ ██████ used (an ███████ █████ ████████████ over the ████████, and a ██████ ████████████ over the ████, ███████████ on the ████████) and with the ████ ████ ██████████ ████ ███████.

The ██████ are ████████ ███████ as ███████: ${\begin{aligned}p(\mu \mid \sigma ^{2};\mu _{0},n_{0})&\sim {\mathcal {N}}(\mu _{0},\sigma ^{2}/n_{0})\\p(\sigma ^{2};\nu _{0},\sigma _{0}^{2})&\sim I\chi ^{2}(\nu _{0},\sigma _{0}^{2})=IG(\nu _{0}/2,\nu _{0}\sigma _{0}^{2}/2)\end{aligned}}$

The ██████ █████████ can be ███████, and ████ as ███████: ${\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\\\mu _{0}'&={\frac {n_{0}\mu _{0}+n{\bar {x}}}{n_{0}+n}}\\n_{0}'&=n_{0}+n\\\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\\nu _{0}'{\sigma _{0}^{2}}'&=\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+{\frac {n_{0}n}{n_{0}+n}}(\mu _{0}-{\bar {x}})^{2}\end{aligned}}$ The ██████████ ███████ of ██████-████████████ ███ the ██████ of ██████ ████████████ to ████. The ███ ████ ██████████████ is ████ █████ a ████████ ███████, this ████ ████████ by the ████████ ███████ of ████████████. ███████, the ██████ for ${\textstyle \nu _{0}'{\sigma _{0}^{2}}'}$ is ███████ to the ████ with █████ ████, but in this ████ the ███ of ███████ ██████████ is █████ with ███████ to the ████████ ████ ████ ██████ than the ████ ████, and as a ██████ a ███ ███████████ ████ █████ to be █████ to ████ ████ of the ██████████ █████ ██████ ████████ from the █████████ between █████ and ████ ████.

██████████ and ████████████

The ██████████ of ██████ ████████████ in █████████ ████████ can be ███████ ██████████ into ████ ██████████:

███████ ██████ █████████████;
█████████████ ██████ ████, for ███████ ████ ████ █████████████ is █████████ by the ███████ █████ ███████; and
█████████████ ███████ as ██████ – the ██████ ████████████ being the ████████████ with ███████ ███████ for a █████ ████ and ████████.
██████████ ████████ – the ██████ ████████████ being █████ after ██████████ ███████ have been ███████ ████████████ ████.