████████ ██████████

████████ ██████████ ( ███-███-██ or ███-████) is a ██████ in the █████ of ██████████ █████ on the ████████ ██████████████ of ███████████, █████ ███████████ █████████ a ██████ of ██████ in an █████. The ██████ of ██████ ███ be █████ on █████ █████████ about the █████, ████ as the ███████ of ████████ ███████████, or on ████████ ███████ about the █████. This ███████ from a ██████ of █████ ███████████████ of ███████████, ████ as the ███████████ ██████████████, which █████ ███████████ as the █████ of the ████████ █████████ of an █████ after ████ ██████. ████ ██████████, ████████ in ████████ ███████ ████████ █████ █████████ in the ████ of a █████ ████████████.

████████ ███████████ ███████ use █████' ███████ to ███████ and ██████ █████████████ after █████████ ███ ████. █████' ███████ █████████ the ███████████ ███████████ of an █████ █████ on ████ as ████ as █████ ███████████ or ███████ about the █████ or ██████████ ███████ to the █████. For ███████, in ████████ █████████, █████' ███████ can be used to ████████ the ██████████ of a ███████████ ████████████ or ███████████ █████. Since ████████ ██████████ ██████ ███████████ as a ██████ of ██████, █████' ███████ can ████████ ██████ a ███████████ ████████████ that ██████████ the ██████ to the █████████ or ███ of ██████████.

████████ ██████████ is █████ after ██████ █████, ███ ██████████ a ████████ ████ of █████' ███████ in a █████ █████████ in ████. In ███████ ██████ ████████ from the ████ ████ to the █████ ████ █████████, ██████-█████ ███████ █████████ the ████████ ██████████████ of ███████████. ███████ used ███████ ███ ██████████ ████████ to █████ a ██████ of ███████████ ████████. █████ ████ ████████ ███████ were █████████ by █████ ███████, the ████ "████████" was not ████████ used to ████████ █████ ███████ until the █████. ██████████ ████ of the ████ ███████, ████████ ███████ were ██████ ███████████ by ████ █████████████ ███ to █████████████ and █████████ ██████████████. ████ of █████ ███████ ████████ ████ ███████████, and ████ ██████ used ██████████ during that ████ were █████ on the ███████████ ██████████████. ███████, with the ██████ of ████████ █████████ and ███ ██████████ like ██████ █████ █████ █████, ████████ ███████ have ██████ ██████████ ██████████ in ██████████ in the ████ ███████.

█████' ███████

█████' ███████ is used in ████████ ███████ to ██████ █████████████, which are ███████ of ██████, after █████████ ███ ████. █████ ███ ██████ $A$ and $█$ , the ███████████ ███████████ of $A$ █████ that $█$ is ████ is █████████ as ███████:

$P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)P(A)}{P(B)}}$

█████ $P(B)\neq 0$ . ████████ █████' ███████ is a ███████████ ██████ of ███████████ ██████, it has a ████████ ██████████████ in ████████ ██████████. In the above ████████, $A$ ███████ ██████████ a ███████████ (████ as the █████████ that a ████ █████ on █████ █████ ███████ of the ████) and $█$ ██████████ the ████████, or ███ ████ that is to be █████ into ███████ (████ as the ██████ of a ██████ of ████ █████). $P(A)$ is the █████ ███████████ of $A$ which █████████ ███'s ███████ about $A$ before ████████ is █████ into ███████. The █████ ███████████ ███ ████ ████████ █████ █████████ or ███████████ about $A$ . $P(B\mid A)$ is the ██████████ ████████, which can be ███████████ as the ███████████ of the ████████ $█$ █████ that $A$ is ████. The ██████████ ██████████ the ██████ to which the ████████ $█$ ████████ the ███████████ $A$ . $P(A\mid B)$ is the █████████ ███████████, the ███████████ of the ███████████ $A$ after ██████ the ████████ $█$ into ███████. ███████████, █████' ███████ ███████ ███'s █████ ███████ $P(A)$ after considering the ███ ████████ $█$ .

The ███████████ of the ████████ $P(B)$ can be ██████████ using the ███ of █████ ███████████. If $\{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\}$ is a █████████ of the ██████ █████, which is the ███ of ███ ████████ of an ██████████, ████,

$P(B)=P(B\mid A_{1})P(A_{1})+P(B\mid A_{2})P(A_{2})+\dots +P(B\mid A_{n})P(A_{n})=\sum _{i}P(B\mid A_{i})P(A_{i})$

████ there are an ████████ ██████ of ████████, it is █████████ to █████████ over ███ ████████ to █████████ $P(B)$ using the ███ of █████ ███████████. █████, $P(B)$ is █████████ to █████████ as the ███████████ █████ ███████ ████ or █████████ that █████ be ████-█████████ to ████████, ██ █████ ████ the ███████ of the █████ and ██████████ is ██████████, since the ████████ ████ not ██████ in the ████ ████████. The █████████ is ████████████ to this ███████:

$P(A\mid B)\propto P(B\mid A)P(A)$

The ███████ a ██████████, which is the ████ of the █████████ and is █████ ████████ in ████████ ██████████ using ████████████ ████████████ ███████, ███████ the ████. The █████████ can be ████████████ ████ without █████████ the █████ █████ of $P(B)$ with ███████ ████ as ██████ █████ █████ █████ or ███████████ ████████ ███████.

████████████

The █████████ ████████ ████████ for the █████████ in ████████ ██████████ is ███████ ██████ as $\pi (\theta \mid x)={\mathcal {L}}(x\mid \theta )\cdot {\frac {\pi (\theta )}{\int _{\Theta }{\mathcal {L}}(x\mid \theta ')\cdot \pi (\theta ')\;d\theta '}}$ █████ $\pi (\theta \mid x)$ is the ███████ ███████████ of $\theta$ being the ████ █████████ after ██████████ the ████ $█$ , ${\mathcal {L}}(x\mid \theta )$ is the ██████████ of ██████████ the ████ $█$ █████ the █████████ $\theta$ , $\pi (\theta )$ is the █████ ██████ of $\theta$ 's ██████████ and the ████████ in the ███████████ █████ the ███████████ of ██████████ the ████ $█$ .

██████████████, this ███████ of █████' ███████ can be ███████████ in the following ███: ███████ $(\Omega ,\Sigma _{\Omega },\lbrace P_{\theta }\mid \theta \in \Theta \rbrace )$ to be some ██████████ ███████████ █████ and $(\Theta ,\Sigma _{\Theta },\pi )$ to be a ███████████ █████ over the █████████ █████. ██ can █████████ a ███ ███████████ █████ $(\Theta \times \Omega ,\Sigma _{\Theta }\otimes \Sigma _{\Omega },Q)$ █████ $█$ is a ████ of ███████ ███████ ███████ as: $Q(M):=(\pi \otimes P_{\cdot })(M)=\int _{\Theta }P_{\theta '}(M_{\theta '})\;d\pi (\theta '),$ █████ $M_{\theta '}:=\{\omega \in \Omega \mid (\theta ',\omega )\in M\})$ .

███, ███ $A_{\theta }:=\lbrace \theta \rbrace \times \Omega$ and $B_{x}:=\Theta \times \lbrace x\rbrace$ , ████ ██ ███: $Q(\theta )=Q(A_{\theta })=\int _{\lbrace \theta \rbrace }P_{\theta '}(\Omega )\;d\pi (\theta ')=\pi (\lbrace \theta \rbrace )\cdot P_{\theta }(\Omega )=\pi (\theta )$

and █████

$Q(x\mid \theta )={\frac {Q(B_{x}\cap A_{\theta })}{Q(A_{\theta })}}={\frac {\pi (\theta )\cdot P_{\theta }(\lbrace x\rbrace )}{\pi (\theta )}}=P_{\theta }(x)$

████ as ███████████ █████ be ████████. ████, █████' ███████ ██████:

$Q(\theta \mid x)=P_{\theta }(x)\cdot {\frac {\pi (\theta )}{Q(x)}}$

If $\pi \ll \lambda$ (█.█. ██████████ ██████████ █.█.█. the ████████ ███████ ), ████ there ██████ a ███████ ████ that $\pi (\theta )={\frac {d\pi }{d\lambda }}(\theta )$ and ██ can █████:

$Q(x)=\int _{\Theta }P_{\theta '}(x)\;d\pi (\theta ')=\int _{\Theta }P_{\theta '}(x)\cdot \pi (\theta ')\;d\theta '$

████, if $\pi \ll \nu$ (██████████ ██████████ █.█.█. ████████ ███████), █████████ ██ can █████:

$Q(x)=\int _{\Theta }P_{\theta '}(x)\cdot \pi (\theta ')\;d\nu (\theta ')=\sum _{i}P_{\theta _{i}}(x)\cdot \pi (\theta _{i})$

████, by ███████████ $Q(\theta \mid x)$ with $\pi (\theta \mid x)$ and ${\mathcal {L}}(x\mid \theta )$ with $P_{\theta }(x)$ ██ ██████ at the █████████ ████████ ██████ above.

████████ ███████

The ███████ ███ of ███████████ ██████████ can be ███████ into a ██████ of ██████████, ████ of which have ███████ ████████ ████████.