███████████ ████████████████

Eine ███████████ ████████████████ oder ein ████████████ ████ ist ein ██████ aus dem ██████████████ ██████████ der ████████████ █████████. █████ ██████████████████ haben die ███████████ ███████████, dass ███ eine ██████ ███████ wie ein ██████████████ ████████. Mit █████ ██████ ████████████ ██████ (auch ████████████ ██████████ ██████) ██████ sich dann die ████████████ █████████████ █████████████ der ████████████████ ███████████. So ██████ auf █████ ████████████ ████████████████ die █████████, █████████ ████████████, █████████████:

Die █████████ ████████ zwischen █████████████████ ███████ (die ███████████ ████████) sind nicht ████████ █████████████, ███████ ██████ █████████ ██████ sein.
Die ███████████ von █████████ kann, im █████████ zur █████, auch ██████ (z. B. █████) oder ███████ (█████████████ █████) als ███° sein.
Die ████████████████████ von ██████████████████ ███████ █████████████ ██████ kann die ████████ des ███████ ██████.
Das ████████ einer ████████████████████ eines █████████████████ █████ auch vom ███ ab, ███████ dessen der ████████████████ ██████████ wird.
Die ████████ ist im ███████████ eine ████████ des █████ auf der ████████████████.
█████████████████ zwischen █████████████████ ███████ sind ███ mit █████ einer ██████ ███████, die vom ███ auf der ████████████████ ████████ kann.

Der █████ ████████████ ███████ der ██████-████████████ oder ████-████████████ ████████████████ ist in der ███████████ ███████████████████ von ██████████████ █████████, da in ██████ die ████████ als ██████ ███████████ wird.

██████████

Eine ███████████ ████████████████ ist eine ████████████████ $n$ -████████████ ████████████████ $M$ mit einer ████████ $g$ , die █████ █████ $p\in M$ ein █████████████ des ███████████████ $T_{p}M$ ████████, das █████ eine ████████████, ███████ ████████ ████████████

g_{p}\colon T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R}

die ███████████████ von $p$ ███████. Das █████, bei █████████ █████████████████ █████████████ $X,\,Y\in {\mathfrak {X}}(M)$ ist

{\begin{aligned}M&\to \mathbb {R} \\p&\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})\end{aligned}}

eine ████████████████ ████████. Die ████████ $g$ █████ ███████████ ██████ oder auch ██████████ ██████, ist aber █████ ██████ im █████ der ██████████ █████.

█████████

████████████ ██████████

Ein ████████████ ██████████ ist ███████████ ████████ zum $\mathbb {R} ^{n}$ mit dem █████████████████████

\langle (x_{1},\dotsc ,x_{n}),(y_{1},\dotsc ,y_{n})\rangle =x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n}

Der ██████████ $\mathbb {R} ^{n}$ kann als ████████████████ ████████████████ ██████████ werden und ████████ mit dem █████████████████████ wird er zu einer ████████████ ████████████████. In ██████ ████ ist der ██████████████ $T_{x}\mathbb {R} ^{n}$ █████████ mit dem ████████████, also ██████ der $\mathbb {R} ^{n}$ .

██████████ ██████

Da das ████████████████ $T N$ einer █████████████████████ $N$ einer ████████████ ████████████████ $M$ auch eine █████████ des █████████████████ $T M$ von $M$ ist, kann die ██████ von $M$ auch auf die ██████████████████ von $N$ ██████████ werden. Die so █████████ ██████ auf der █████████████████████ wird deswegen auch ██████████ ██████ ███████. Die █████████████████████ $N$ ██████ ████████ mit der ███████████ ██████ ██████ eine ███████████ ████████████████.

██████████ ████████ ██████ ████████████ bei der █████████████ ████████████ von ██████ und ███████ als █████████████████████ des $\mathbb {R} ^{n}$ ██████████.

███████████ ██████████████████ als █████████ █████

Die ███████████ ██████ ist █████ ██████ im █████ der ███████ der ██████████ █████, ███████ ein █████████████. ███ kann ██████ ███████ wie in der ███████ der ██████████████████ aus dem █████████████ eine ██████ ████████. █████ ██████ ███████████ ██████████████████ als █████████ █████ ██████████ werden. Auf ████████████ ██████████████████ sind also im █████████ zu █████████████████ ██████████████ ████████ wie ███████, ███████████ oder ███████████████ █████████.

████████████████

Im █████████ sei $(M,g)$ eine ███████████ ████████████████. Die ████████████████ auf einer (█████████████████) ████████████ ████████████████ wird dann █████████ durch

d(x,y):=\inf\{L(\gamma )\mid \gamma \colon [0,1]\to M,\gamma (0)=x,\gamma (1)=y\}

Dabei ██████████ $\gamma$ alle (██████████) █████████████████ ████, die $x$ und $y$ █████████, und $L(\gamma )$ ██████████ die █████ von $\gamma$ , die █████

L(\gamma )=\int _{0}^{1}\!{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,\mathrm {d} t

█████████ ist. Das ██████████ $L$ wird auch ████████████████ ███████. Ein mit ██████████ ███████████████ █████████████ ███, der █████ (das █████ ███ ███████████ ████ ███████████ ████████ ██████) die ████████ ██████████ ██████████, █████ ███████████.

Die so ██████████ ██████ $d$ █████████ ██████ die █████████████ █████████ von $M$ . Da ███ ██████ kann, dass ████ ████████████████ $n$ -████████████ ████████████████ ███████████ ████████ ███████, █████ sich so auch ██████, dass ████ ████████████████ $n$ -████████████ ████████████████ ████████████ ist. ███████ wie bei ██████████ ████████████ kann ███ auch von █████████████ ████████████ ██████████████████ ████████. Der ████ von ████-█████ ist das ████████ ████████ █████████ der ███████████████ ████████████ ██████████████████.

███████████

███████ wie in der ███████ der ██████████ █████ wird durch

\operatorname {diam} (M):=\sup\{d(p,q)\mid p,q\in M\}\in [0,\infty ]

der ███████████ einer ████████████ ██████████████████ $(M,g)$ █████████.

Der ███████████ ist eine ██████████ einer ████████████ ████████████████ unter ████████ ██████████. Außerdem ████ ███ (███████████████████) ███████████ ██████████████████ die █████-█████-███████████, das █████, eine ████████████ ███████████ ████████████████ ist █████ dann ███████, ████ der ███████████ endlich ist.

██████████

████’ ███████ der ██████████ ███████ █████████ eine ████████████ ████████████, das █████, die ██████████ ███████ werden mit █████ eines ██████████, ████████████ ██████ ███████████. ████████ ███████ ███████ dagegen einen ████████████ ██████. ██████ ██████ und die ███████████ ████████████ ██████ ███████ in ██████ ████████████████████ ████ die ██████████, welche der █████████ zu ██████ ██████ vom ██. ████ ████ an der ███████████ █████████ ein. ████ wurden auch █████ ████████████ ███████████, die ████ █████ in der ████████ ██████████ █████████ werden. Von █████████████ ██████ war damals ██████ ████ nicht die ████. ████████ von ██████ und ██████████████████ ██████████ ███████ damals ██████████████ ██████████████.

Seit ██████ des ██. ████████████ wurden ██████████ ████████████████ ██████████ ██████████. Die ███████████ █████████ hatte dabei ██████ die ██████████ ████████████ und die █████████ ███████, um █████ ██████████ von einem ███████████ ██████████ aus zu ███████████. Der ███████ der ████████████ ████████████████ ███████ zum ██████ des ██. ████████████ einen █████████████ █████████████ ███ die ███████████ der ███████████ ███████████████████.

█████████

████████ ████████ do █████: ██████████ ████████, ██████████, ██████ ████, ████ █-████-████-█
██████ ██████: A █████████ ████ ██ ██████████ ████████. ████████-██████, ██████, ████, ████ █-███-█████-█
█████████ ██████, █████████ █████, ███████ ██████████: ██████████ ████████ (██████ ███████), ████████-██████, ██████/██████████ ████, ████ █-███-█████-█
██████ █████████████: █████████ und █████████ in der ██████, ██████ ████████, ████, ████ █-███-█████-█