██████████ ██████████████

In der █████████████████, einem ██████████ der ██████████, ██████ eine ██████████ ██████████████ eine ███████████ ███, einen ███████ in einen ███████ zu ██████████████, und das unter ████████████ der ███████ ████████ der ███████████ ██████████, das █████ der █████████████ von ██████████. ███████████ kann █████ █████████ so ████████████ werden, dass ███ zum ███████ der ███████████ ████████████████ ███████. ██████████ ████████████████ ███████ nach ██████████ und █████████ zu den ███████████████ █████████ der █████████████████ und ██████ daher in der ████████ █████ ███████████ vor.

██████████

█████ $F$ und $G$ █████████ zwischen den ██████████ ${\mathcal {C}}$ und $D$ . Eine ██████████ ██████████████ $\eta$ von $F$ nach $G$ ist eine ███████ von ██████████ $\eta =(\eta _{X})_{X\in {\mathcal {C}}}$ , so dass █████████ ████:

███ █████ ██████ $X$ in ${\mathcal {C}}$ ist $\eta _{X}$ ein ██████████ $\eta _{X}\colon F(X)\rightarrow G(X)$ in ${\mathcal {D}}$ . Der ██████████ $\eta _{X}$ █████ die ██████████ von $\eta$ bei $X$ .
Die ███████████ von $\eta$ ████████ ███ █████ ██████████ $f\colon X\rightarrow Y$ in ${\mathcal {C}}$ die █████████

\eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}

█████ █████████ wird █████████████ durch █████████ ████████████ ████████ ███████████:

Sind beide █████████ $F$ und $G$ █████████████, so ██████ sich die ██████████ ██████ in ██████ ████████ um. Ist $\eta$ eine ██████████ ██████████████ von $F$ nach $G$ , so ████████ ███ $\eta \colon F\to G$ oder $\eta \colon F\implies G$ . Das ██████ ███ auch durch die █████████ aus, dass die ███████ von ██████████ $\eta _{X}\colon F(X)\to G(X)$ █████████ in $X$ sei.

████ alle ███████████ $\eta _{X}$ █████████████ in ${\mathcal {D}}$ sind, so █████ ███ $\eta$ einen ███████████ █████████████ oder eine ██████████ ██████████ oder einen █████████████ der █████████. ████ █████████ $F$ und $G$ ██████ █████████ ████████ oder ███████ ████████, ████ es einen ███████████ █████████████ von $F$ nach $G$ ████.

Zu einer ██████████ ███████ $\eta =(\eta _{X})_{X\in {\mathcal {C}}}$ von ██████████ $\eta _{X}\colon F(X)\to G(X)$ ████ es eine ██████ ██████████████ von ${\mathcal {C}}$ , so dass die █████████████ darauf einen ██████████ ██████████████ ist. ███ ███████ aus allen ████████ von ${\mathcal {C}}$ und allen ██████████ in ${\mathcal {C}}$ , die █████ █████████ ████████.

█████████

████████████

████ ██████ ist █████████ ████████ zu █████ ███████████. ████████ ██████ ███ ██████ in der ████████ ██████████ ████ ██████ vor. ███ ██████ die ██████ █████████ ██████ ███████ und auch █████ ██████ ███████████.

█████████ die █████████ ${\textbf {Grp}}$ aller ███████ mit den █████████████████████ als ██████████. Ist $(G,*)$ eine ██████, so ██████████ ███ ████ ███████████ $(G^{\text{op}},{*}^{\text{op}})$ wie █████: $G^{\text{op}}$ ist ████████ █████ wie $G$ und die ████████████████ $*^{\text{op}}$ wird █████████ durch $a*^{\text{op}}b=b*a$ . In ██████ █████ sind alle ████████████████ in $G^{\text{op}}$ „█████████“. Der ████████ zur ███████████ wird zu einem ███████████ ███████ von ${\textbf {Grp}}$ nach ${\textbf {Grp}}$ , ████ ███ $f^{\text{op}}:=f$ ███ █████ ██████████████ $f\colon G\to H$ ██████████. ███████, dass $f^{\text{op}}$ ███████████ ein █████████████████████ $G^{\text{op}}\rightarrow H^{\text{op}}$ ist, denn

f^{\text{op}}(a*^{\text{op}}b)=f(b*a)=f(b)*f(a)=f^{\text{op}}(a)*^{\text{op}}f^{\text{op}}(b).

Der ██████ ██████ ███████ ist:

„Der ██████████ ███████

{\text{Id}}_{\textbf {Grp}}\colon {\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}

ist █████████ ████████ zu

{\text{op}}\colon {\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}

.“

Zum ██████ ██████ ███ ███ ████ ██████ einen ██████████████ $\eta _{G}\colon G\to G^{\text{op}}$ ██████, so dass ██████ ████████ ██████████. Dazu █████ $\eta _{G}(a)=a^{-1}$ . Die ███████ $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}=a^{-1}*^{\text{op}}b^{-1}$ und $(a^{-1})^{-1}=a$ ██████, dass $\eta _{G}$ ein █████████████████████ mit der █████████ $\eta _{G^{\text{op}}}$ ist. Zum ████████ der █████████████ █████ ███ von einem █████████████████████ $f\colon G\to H$ aus und ██████ $\eta _{H}\circ f=f^{\text{op}}\circ \eta _{G}$ , das █████ $(f(a))^{-1}=f^{\text{op}}(a^{-1})$ ███ alle $a$ in $G$ . Das ████, weil $f^{\text{op}}=f$ und █████ █████████████████████ die ███████████ $(f(a))^{-1}=f(a^{-1})$ hat.

████████████

Zu einer ██████ $G$ ██████████ ███ ████ ████████████ $G^{\text{ab}}:=G/[G,G]$ . Sei $\pi _{G}\colon G\to G^{\text{ab}}$ die ███████████████████ auf die █████ der ████████████ von [G,G] . ██████ ██████████████ ist █████████ in $G$ , wie ███ ███ ██████ werden. Sei $█$ eine ██████ und $f\colon G\to H$ ein ██████████████. Dann ist $[G,G]$ im ████ von $\pi _{H}\circ f$ █████████, denn █████ ██████████████ in eine ████████ ██████ ██████ █████ ██████████ auf das ████████ ███████ ab. Dann ████████████ $\pi _{H}\circ f$ ████ $G^{\text{ab}}$ als $f^{\text{ab}}\circ \pi _{G}=\pi _{H}\circ f$ mit einem ███████████ ██████████████ $f^{\text{ab}}\colon G^{\text{ab}}\to H^{\text{ab}}$ . Das █████ ${\text{ab}}\colon {\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}$ zu einem ███████ und $\pi =(\pi _{G})_{G\in {\textbf {Grp}}}$ zu einer ███████████ ██████████████ vom ███████████ ███████ zu ${\text{ab}}$ , allerdings nicht zu einem ███████████ █████████████.

████████-██████████████

Die ████████████ █████████ ist █████ an █████████ und ███████████ ████████████████. Als ████████ ██████████ ███ den ████████-██████████████. ███ █████ ███████████ █████████████ ████ $(X,x)$ und ████ ████████ ██████████ ████ $n$ █████████ ein █████████████████████

h_{n}\colon \pi _{n}(X,x)\to H_{n}(X)

von der $n$ -███ ███████████████ von $(X,x)$ in die $n$ -██ █████████ ███████████████ von $X$ . ██████ $\pi _{n}$ als auch $H_{n}$ sind █████████ von der █████████ ███^* der ███████████ █████████████ █████ in die █████████ ███ der ███████ und $h_{n}$ ist eine ██████████ ██████████████ von $\pi _{n}$ nach $H_{n}$ .

████████████

Sind $R$ und $S$ ███████████ █████ und $f\colon R\to S$ ein ██████████████████, so █████████ $f$ durch ████████████████ █████████ von $f$ einen █████████████████████ ${\text{GL}}_{n}(f)$ von ${\text{GL}}_{n}(R)$ nach ${\text{GL}}_{n}(S)$ , █████ ${\text{GL}}_{n}(R)$ die ██████ der ██████████████ ████████ ████ $R$ mit $n$ ██████ und $n$ ███████ sei. ████ ███████ ist die █████████████ von $f$ ein █████████████████████ $f^{*}\colon R^{*}\to S^{*}$ , █████ $R^{*}$ die ███████████████ von $R$ sei. ███████████ sind █████████ █████████ ${\text{GL}}_{n}$ und $*$ von der █████████ der ████████████ █████ ${\textbf {CRing}}$ in die █████████ der ███████ ${\textbf {Grp}}$ ███████. Die █████████████ der ████████████ ${\text{det}}_{R}$ auf ${\text{GL}}_{n}(R)$ ist ein ██████████████

{\text{det}}_{R}\colon {\text{GL}}_{n}(R)\to R^{*}

der █████████ in $R$ ist, denn da die ████████████ ███ █████ ████ durch ████████ ██████ █████████ ist, ████ $f\circ {\text{det}}_{R}={\text{det}}_{S}\circ {\text{GL}}_{n}(f)$ . ████ █████ die ███████████ zu einer ███████████ ██████████████ von ${\text{GL}}_{n}$ nach $*$ .

██████ eines ███████████

Ist $K$ ein ██████, so ist ███ █████ ██████████ $V$ ████ $K$ eine „██████████“, █████████, ███████ ███████████ $V\to V^{**}$ des ███████████ in ██████ ██████████ █████████. █████ ███████████ sind in █████████ █████ █████████: Die █████████ zum ██████████ ist ein ███████, und die ███████████ $V\to V^{**}$ sind die ███████████ einer ███████████ ██████████████ vom ███████████ ███████ zum ██████████-███████.

████████ ████████

███ ████ ████████ ██████ $G$ ██████ die █████ ${\text{Hom}}_{\textbf {Set}}(\mathbb {Z} ,U(G))$ der ██████████ von den ██████ ██████ in die █████████████ █████ von $G$ eine mit $V_{\mathbb {Z} }(G)$ ███████████ ████████ ██████ █████████ der ███████████ ████████. ███████ ist $U$ der ███████ ██████████████ $U\colon {\textbf {Ab}}\to {\textbf {Set}}$ . Ist $\varphi \colon G\to G'$ ein ${\textbf {Ab}}$ -██████████, so ist die █████████ $V_{\mathbb {Z} }(\varphi )\colon V_{\mathbb {Z} }(G)\to V_{\mathbb {Z} }(G')$ , $f\mapsto \varphi \circ f$ ██████ ein ██████████████ █████████ ███████. Auf █████ █████ ████████ ███ einen ███████ $V_{\mathbb {Z} }\colon {\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}$ . Der ████████ █████████████████ $\Delta _{G}$ , der ████ ████████ $f\colon \mathbb {Z} \to U(G)$ auf $\Delta _{G}(f)\colon n\mapsto f(n+1)-f(n)$ ████████, ist eine █████████ von $V_{\mathbb {Z} }(G)$ in sich ██████. Die ███████ $\Delta =(\Delta _{G})_{G\in {\textbf {Ab}}}$ ██████ ███████████ █████████ eine ██████████ ██████████████ $\Delta \colon V_{\mathbb {Z} }\to V_{\mathbb {Z} }$ .

██████-███-██████████

█████████ die █████████ ${\textbf {Ab}}$ der █████████ ███████ und █████████████████████. ███ je ████ ████████ ███████ ████ es einen █████████████████████

\operatorname {Hom} (X\otimes Y,Z)\to \operatorname {Hom} (X,\operatorname {Hom} (Y,Z))

█████ █████████████ sind in dem █████ █████████, dass ███ eine ██████████ ██████████████ zwischen den █████████ $\operatorname {Hom} (-\otimes -,-)$ und $\operatorname {Hom} (-,\operatorname {Hom} (-,-))$ von ${\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}$ ██████████. ████ █████ „██“ ███ die █████ █████████ und nicht ███ den oben ████████████ (und auf ${\textbf {Ab}}$ █████████) ███████ der ████████████.

████ ist ██████ die ██████████ zwischen ████████████ und ███-███████, es ███████ sich um den ████████ eines ██████ ████████████ █████████. ██████████ ████████████████ ██████ ██████ in ██████████ mit ████████████ █████████ auf, ███████████ sind ███████████ █████████ ███████ ████████ ███████████ █████████████ █████████. ██████████ ist █████ ████ ████████████ █████████ mit ████ ████████ ███████████ ████████████████ (die im ███████████ █████ ███████████ █████████████ sind) █████████, ███████ der ███████ und der █████████.

████████████ █████████████

Der ███████ der ███████████ ██████████████ ist ███████████ und ██████, █████████ ██████████, dass eine █████████ █████████ zwischen █████████ in ████████████ █████ ████ die ███████ █████████ ██████ ████████ werden kann. ████████ ███████████, ████████████ █████████████, zwischen █████████ ████████ (also nicht auf der ████████ █████████ ███████) werden „█████████“ ███. „██████████ █████████████“ ███████, ████ ███ ████ ████████████ ██████ auf die ███████ █████████ █████████ kann, dass ███ eine ██████████ ██████████████ zwischen █████████ ██████. Die ██████████████ ██████ █████████ war ein █████████████ ███████ in der ███████████ der █████████████████. █████████ █████ ███ einen █████████████ zwischen █████████ ████████ „███████████“ oder „nicht █████████“, ████ █████ █████████ nicht zu einer ███████████ ██████████████ auf der ████████ █████████ █████████ kann. Ist ein ██████ $X$ ███████ und ein ███████ $G$ (der ███████████ ██████ ██████ ███ den ██████ der ███████████ █████████ als ███████████ ███████) und ist $\eta \colon X\to G(X)$ ein █████████████, so kann die ███████████████ am ███████████ dadurch ███████ werden, dass ███ einen ██████████████ $a\colon X\to X$ ██████, der nicht mit dem █████████████ ██████████, das █████ $\eta \circ a\neq G(a)\circ \eta$ . ████ ███ die ████████ ███████ ████████, dass $X$ und $G(X)$ nicht █████████ ████████ sind, ohne dabei einen ██████████ █████████████ zu ██████████, ████ ███ ███ █████ █████████████ $\eta$ einen ███████ nicht-██████████████ ██████████████ $a$ ██████. In ███████ ██████ ██████ █████ █████ ein ████████ ██████████████ ███ alle ██████████, in ███████ ██████ ████ ███ ███ █████ $\eta$ ein ███████ █████████ $a$ ████████████. Die ██████████ der █████████ ███████ dabei eine ██████████████, im ██████████ einer █████████, in der die ███████████ die ████████ ██████████ sind, ist ████ ███████ $\eta =(\eta _{X})_{X}$ von ██████████ $\eta _{X}\colon F(X)\to G(X)$ ███ ████ ████████ █████████ in eine ██████ █████████ eine ██████████ ██████████████.

Das ist ████████████ zu ████████ █████████ aus der ██████████████ oder ████████████, bei denen ███████████ eines ████████ in ███████ ██████ „nicht █████████“, oder ████ „nicht █████████“ sind, da es ██████████████ ████, die die ███████ ███████████████ nicht ████████. Ein ████████ █████ ist der █████████ ████ endlich ████████ ████████ ███████.

██████ ███████ █████████████ █████ ████████ auch in █████ ████████████, ███ █████████ $\cong$ ███ ██████████ █████████████, $\approx$ ███ ████████████ █████████████ und $=$ ███ ██████████.

████████: █████████████████ des █████

Als ████████ ███ die ██████████████ zwischen █████████████ ████████ und ███████ ████ ████████████ ███████ ██████████ ███ ████████████████, ████████ die █████████████████ des █████ $T$ .

Die ███████████████ eines ████████████ ist auf ██████████ █████ ██████ dem ███████ der ████████████████ der ███████████, $\pi _{n}((X,x_{0})\times (Y,y_{0}))\cong \pi _{n}((X,x_{0}))\times \pi _{n}((Y,y_{0}))$ , █████ der █████████████ durch die ████████████ auf die beiden ████████ ███████ ist. Das ████ im ████████████ deshalb, weil ███████████ in einen ███████████ █████ die ████████ der ███████████ in die ███████████ sind. Das ist eine ████████████ ███████.

Der █████, der auf █████████ █████ ein ███████ ██████ ██████ ist, hat ██████████ als █████████████████ $\mathbb {Z} ^{2}$ , aber die █████████ $\pi _{1}(T,t_{0})\approx \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ ist nicht █████████:

\pi _{1}(T,t_{0})\approx \pi _{1}(S^{1},x_{0})\times \pi _{1}(S^{1},y_{0})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}.

███████ die ██████████ von $\approx$ , $\cong$ und $=$ .

██████ █████████ █████████████ mit dem ███████ ist nicht █████████, denn ██████ ██████████████ auf $T$ ████████ das ███████ nicht. Der ██████████████ (███████████████) auf dem █████, den ███ sich als ██████████████ $T=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ ███████ █████, der durch $\left({\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ ███████ ist (███████████ ist das ein ████-█████), ██████ nicht die ███████████████, da die ████████████ ██████ nicht ████████ ist. Ist allerdings der █████ als ███████ ███████, $(T,t_{0})=(S^{1},x_{0})\times (S^{1},y_{0})$ , dann ██████ sich die █████████ der ██████ wie oben █████████ durch die ██████████████████████. █████████████████████ ███████████ ist die ████ █████████ █████████ die der ████████████, die mit █████ ███████████████ ███████ sind, und den ███████████ zwischen █████, die als █████ von ███████████ zwischen den ███████████ ███████ sind.

█████████████ ist ein █████████████ ███████ und █████████ eine ███████ ██████ der ████████████ █████. Der █████ als █████████████ ████, der in der █████████ der █████████████ █████ und ████████ ███████████ als ein ███████ ███████████ werden kann, ist █████ ███████ als ein bereits als ███████ ███████████ █████ in der █████████ der ████████ ██████ █████████████ █████ und den ████████ ███████████ zwischen den ███████████ (denn die ██████████ sind ██████).

████████: ████████ eines ████████████████████ ███████████

█████ ███████████████████ ██████████ ist ████████ zu ██████ ████████, aber es kann ████ █████ ████████████ █████████████ zwischen ██████ beiden ██████ █████. Im ███████████ ████ es ██████ ███████████ █████████████ zwischen einem ████████████████████ ██████████ und ██████ ████████. Allerdings ██████ █████████ ██████████ (mit ████████████ ████████ und ██████████████ in den ██████████) durchaus ██████████ █████████████ ██████ ███ ████████, wie █████ ██████████ wird.

Ein ████████ eines ████████████████████ ███████████ ist ██████ ein ████████████████████ ██████████ derselben █████████, und daher sind die beiden ████████, denn die █████████ ist die ███████ ██████████ ████████████████████ ███████████ ████ einem █████████ ██████. Ohne ███████ ███████████████ (wie zum ████████ die █████████, dass ███████████ ████████ █████ ████████) ist so ein █████████████ nicht █████████, von █████████ █████████ █████████. Ein ███████ █████████████ █████████ eine █████████ ████, und das ist „nicht █████████“. In der █████████ der ████████████████████ ███████████ und ████████ ███████████ kann ███ eine ███████ von █████████████ zwischen ██████ und █████ ██████████ ██████ (etwa indem ███ █████ █████ und dann die ███████████ █████████████), aber eine ██████ ███████ █████████ ███████ eine ██████████ ██████████████. ████████ █████ das an den zu ██████████ ██████, ████████████ ██████ █████ das daran, dass █████ ██████ ████ mit allen ████████ ███████████ ██████████ (wie in ██████ ██████████), █████ ███ eine ████████████ ██████████.

██████████ ███ ███████████████████ ███████████ und darauf den ███████████ ███████ und den ███████████████, so kann ███ einen ███████████ █████████████ ██████████, aber dazu ████ ███ ███████████ ████████ ██████████ und die ██████████ von „█████████ ███████ ███████████“ auf „█████ ████████ ██████████ ███████ ███████████“ ████████████. ███████ ████ █████ ███████████████████ ██████████ eine ██████████████ haben, die einen █████████████ $\eta _{V}\colon V\to V^{*}$ in den ████████ ████████. Dazu ██████████ ███ ███████████ mit einer nicht-████████████ ████████████ $b_{V}\colon V\times V\to K$ . Dadurch ██████ ███ eine ███████ von █████████████ $\eta _{V}$ ███ █████ ██████ $V$ der █████████. Dann ████████ ███ die ██████████ auf diejenigen ████████ ███████████ $T\colon V\to U$ ein, die mit ██████ ██████████ ███████████, das █████ $T^{*}(\eta _{U}(T(v)))=\eta _{V}(v)$ , oder mit ███████ ██████, die die ████████████ ████████, das █████ $b_{U}(T(v),T(w))=b_{V}(v,w)$ . Die so ███████████ █████████, ███████████████████ ███████████ mit einer nicht-████████████ ████████████ und ███████ ███████████, die die ██████████████ ████████, hat nach ████████████ einen ███████████ █████████████ von der █████████ auf den ███████████████. █████ ███ der ████████████ – ████ █████ ██████ eine ██████████████ als ██████████████ █████ und ████████ die ██████████ auf ██████ ein, die █████ ██████████████ ████████ – █████ nicht von ██████████ █████████████ der ███████████ ab.

In ██████ █████████ (███████████████████ ███████████ mit nicht-████████████ ████████████ und ███████ ███████████, die █████ ██████████████ ████████), ██████ die ██████ ███████████ mit ███████████████ █████████████ werden. Aus ███████████ ███████████ ███████ ████████████ ███ sich ███ █████████ ███████████████, bei denen ███ █████████████ █████████████ der nicht-████████████ ████████████ ███████, etwa dass █████ ███████████, ███████████ und ███████ ███████, ██████████ oder █████████████████ ist. In ███ ██████ ██████████ kann ein ██████████ unter █████████ der ████████████ auf ██████████ █████ mit ██████ ████████ █████████████ werden.

███████████ mit ███████████ ██████████████

Sind $\eta \colon F\to G$ und $\epsilon \colon G\to H$ ██████████ ████████████████ der █████████ $F,G,H\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ , ██████ ███ ███ zu einer ███████████ █████████████ $\epsilon \eta \colon F\to H$ ███████████. ████ █████████ ████████████████ $(\epsilon \eta )_{X}=\epsilon _{X}\eta _{X}$ .