██████████████ ███████

En ██████ de ██████████, una ████ de las ███████████, una ██████████████ ███████ ███████████ una ██████ de █████████ un ██████ en otro, ████████ que se ███████ la ██████████ ███████ (es █████, la ███████████ de █████████) de las ██████████ ██████████. Por lo █████, una ██████████████ ███████ se █████ ██████████ como un ████████ de ████████. De █████, esta █████████ █████ ████████████ para ███████ las ████████ ██████████ de ████████. Las ████████████████ █████████ son, ███████ de las ██████████ █ de los ████████, una de las ████████ ███ ███████ del ███████ ██████████ █ por lo █████ ████████ en la ███████ de sus ████.

██████████

Si █ █ █ son ████████ (███████████) entre las ██████████ █ █ █, ████████ una ██████████████ ███████ █ de █ a █ ██████ a ████ ██████ █ en █ un ████████ █_█ : █(█) → █(█) en █, ███ que para ████ ████████ █ : █ → █ en █ se █████ que

█_█ o █(█) = █(█) o █_█.

Esta ████████ se █████ ████████ ████████████████ por el ████████ ███████████

Si █ es una ██████████████ ███████ de █ a █, se ███████ ███████ █: █ → █.

Si, para ████ ██████ █ en █, el ████████ █_█ es un ███████████ en █, ████████ █ se ████ un ███████████ ███████ (o a █████ una ████████████ ███████ o ███████████ de ████████). ███ ████████ █ █ █ se █████ ████████████ █████████ o ███████████ █████████ si ██████ un ███████████ ███████ de █ a █.

████████

█████ ███████

█████ ███████: █████ ███████

█████████████ como "████ █████ es ████████████ ████████ a su █████ ███████" ███████ en ███████████ ████████. █████ se ██ a ███ el ███████████ ██████ de esta ███████████ ███ como su ████████████. ███████████ la █████████ ███ de █████ los ██████ con █████████████ de █████ como █████████. Si (█,*) es un █████, se ██████ su █████ ███████ (█^██, *^██) como █████: █^██ es el █████ ████████ que █, █ la █████████ *^██ es ████████ por a*^███ = █*a. █████ las ████████████████ en █^██ "se ███ ███ la ██████". La █████████ del █████ ███████ se █████████ en un ██████ de ███ a ███ si se ██████ █^██ = █ para ████ ████████████ de █████ █: █ → █. █████████ que █^██ es de █████ un ████████████ de █████ de █^██ en █^██:

█^██(a*^███) = █(█*a) = █(█)*█(a) = █^██(a)*^███^██(█).

El █████████ de la ███████████ █████████ es: el ██████ █████████ ██_███: ███ → ███ es ████████████ ████████ al ██████ ███████ -^██: ███ → ███. Para ██████ ████, se ████████ ████████████ ████████████ █_█: █ → █^██ para ████ █████ █, ███ que el ████████ █████████ ███████. ██████ █_█(a) = a^-█. Las ████████ (██)^-█ = █^-█ a^-█ █ (a^-█)^-█ = a ██████████ que █_█ es un ████████████ de █████ que es su ██████ ███████. Para ██████ la ███████████, se ████████ con un ████████████ de █████ █: █ → █ █_█ o █ = █^██ o █_█, es █████ (█(a))^-█ = █^██(a^-█) para ████ a en █. ████ es ██████ ██████ que █^██ = █ █ ████ ████████████ de █████ █████ la █████████ (█(a))^-█ = █(a^-█).

███████

███ $\varphi :M\longrightarrow M^{\prime }$ un ████████████ de ██████ $█$ de ███████ a la ███████. Para ████ ██████ a la █████████ $█$ ██████ una ██████████ ███████ $\varphi \otimes N:M\otimes _{R}N\longrightarrow M^{\prime }\otimes _{R}N$ , que █████ una ██████████████ ███████ $\eta :M\otimes _{R}-\implies M'\otimes _{R}-$ . Para ████ ██████ a la ███████ $█$ ██████ una ██████████ ███████ $\eta _{N}:{\text{Hom}}_{R}(M',N)\longrightarrow {\text{Hom}}_{R}(M,N)$ ████████ por $\eta _{N}(f)=f\varphi$ , █████ una ██████████████ ███████ $\eta :{\text{Hom}}_{R}(M',-)\implies {\text{Hom}}_{R}(M,-)$ :{\████{███}}█{█}(█',-)\███████ {\████{███}}█{█}(█,-)} .

██████████████

████ un █████ $█$ , se █████ ███████ su ████████ ██████████ $G^{\text{ab}}=G/$ $[G,G]$ . █████ $\pi _{G}:G\to G^{\text{ab}}$ ██████ la ██████████ de ██████████ sobre las ██████ █████████ de $[G,G]$ . Este ████████████ es "███████ en $█$ ", es █████, ██████ una ██████████████ ███████, que █████ se █████████. ███ $█$ un █████. Para █████████ ████████████ $f:G\to H$ , se █████ que $[G,G]$ está █████████ en el ██████ de $\pi _{H}\circ f$ , ██████ █████████ ████████████ en un █████ ████████ ███████ al ████████ del ██████████. ████████ $\pi _{H}\circ f$ █████████ $G^{\text{ab}}$ como $f^{\text{ab}}\circ \pi _{G}=\pi _{H}\circ f$ para el ████████████ █████ $f^{\text{ab}}:G^{\text{ab}}\to H^{\text{ab}}$ . ████ ████ que ${\text{ab}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}$ ███ un ███████ █ $\pi$ es una ██████████████ ███████, pero no un ███████████ ███████, del ███████ █████████ a ${\text{ab}}$ .

████████████ de ████████

Los █████████ █ las ████████████████ █████████ ███████ en █████████ ██████████, ██████ los █████████████ de ████████ un ███████. Para █████████ ███████ ██████████ ███████ $(X,x)$ █ ██████ ████████ $█$ ██████ un ████████████ de ██████

h_{n}\colon \pi _{n}(X,x)\to H_{n}(X)

desde el $█$ -█████ █████ de █████████ de $(X,x)$ hasta el $█$ -█████ █████ de █████████ de $█$ . █████ $\pi _{n}$ como $H_{n}$ son ████████ de la █████████ ███^* de ████████ ███████████ ███████████ a la █████████ ███ de ██████, █ $h_{n}$ es una ██████████████ ███████ de $\pi _{n}$ a $H_{n}$ .

████████████

█████ ███████: ████████████ (██████████)

█████ los ███████ ████████████ $█$ █ $█$ con un ████████████ de ███████ $f:R\to S$ , los ███████████ ██████ de ████████ ███████████ $n\times n$ ${\text{GL}}_{n}(R)$ █ ${\text{GL}}_{n}(S)$ ███████ un ████████████ que se ██████ por ${\text{GL}}_{n}(f)$ , ████████ █████████ $█$ a ████ ███████ de la ██████. De ██████ ███████, $█$ se █████████ a un ████████████ de █████ $f^{*}:R^{*}\to S^{*}$ , donde $R^{*}$ ██████ la ██████ de $█$ . De █████, ${\text{GL}}_{n}$ █ $*$ son █████████ de la █████████ de ███████ ████████████ ${\textbf {CRing}}$ a ${\textbf {Grp}}$ . El ████████████ en el █████ ${\text{GL}}_{n}(R)$ , ████████ por ${\text{det}}_{R}$ , es un ████████████ de █████.

{\mbox{det}}_{R}\colon {\mbox{GL}}_{n}(R)\to R^{*}

que es ███████ en $█$ ██████ a que el ████████████ está ████████ por la █████ ███████ para ████ ██████, $f^{*}\circ {\text{det}}_{R}={\text{det}}_{S}\circ {\text{GL}}_{n}(f)$ se ██████. ████ ████ que el ████████████ ███ una ██████████████ ███████ de ${\text{GL}}_{n}$ a $*$ .

█████ ████ de un ███████ █████████

Por ███████, si $█$ es un ██████, ████████ para ████ ███████ █████████ $█$ sobre $█$ se █████ una ██████████ ██████ █████████ $V\to V^{**}$ "███████" desde el ███████ █████████ hasta su ████ █████. Estas ████████████ son "█████████" en el █████████ ███████: la █████████ ████ █████ es un ██████, █ las ████████████ son los ███████████ de una ██████████████ ███████ del ██████ █████████ al ███████ ████ █████.

███████ ██████

Para ████ █████ ████████ $█$ , el ████████ ${\text{Hom}}_{\textbf {Set}}(\mathbb {Z} ,U(G))$ de █████████ desde los ███████ ███████ hasta el ████████ ██████████ de $█$ █████ un █████ ████████ $V_{\mathbb {Z} }(G)$ ████ la ████ ███████ (████, $█$ es el ██████ █████████ $U:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Set}}$ ████████). ████ un ████████ ${\textbf {Ab}}$ $\varphi :G\to G'$ , la ██████████ $V_{\mathbb {Z} }(\varphi ):V_{\mathbb {Z} }(G)\to V_{\mathbb {Z} }(G')$ ████ por la █████████ que ███████ $\varphi$ con los █████████ del ███████ es en sí █████ un ████████████ de ██████ █████████; de esta ██████ se ███████ un ██████ $V_{\mathbb {Z} }:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}$ . El ████████ de ███████████ ███████ $\Delta _{G}$ ███████ ████ ███████ $f:\mathbb {Z} \to U(G)$ a $\Delta (f):n\mapsto f(n+1)-f(n)$ es una ██████████ de $V_{\mathbb {Z} }(G)$ sobre sí █████, █ la █████████ $\Delta$ de ██████ ████████████ ██ una ██████████████ ███████ $\Delta :V_{\mathbb {Z} }\to V_{\mathbb {Z} }$ .

█████████ ███████████ █████████

██████ ███████: █████████ ███████████ █████████ █ ████████ ████████.

███████████ la █████████ ${\textbf {Ab}}$ de ██████ █████████ █ █████████████ de █████. Para █████ los ██████ █████████ $█$ , $█$ █ $█$ se █████ un ███████████ de █████

{\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)\to {\text{Hom}}(X,{\text{Hom}}(Y,Z))

Estos ████████████ son "█████████" en el ███████ de que ███████ una ██████████████ ███████ entre los ███ ████████ ████████████ ${\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}$ (████, "██" es la █████████ ███████ de ${\textbf {Ab}}$ , que no ████ ███████████ con el ██████ █████ ███████ ███████ en ${\textbf {Ab}}$ ).

Esta es ███████████ la █████████ ███████████ █████████, un ███████ ███████████ de un ███ de ████████ ████████. Las ████████████████ █████████ ██████ ██████████████ █████ con los ████████ ████████ █, de █████, los █████████ ████████ se ███████ por un ██████ ███████████ ███████. ██████, ████ ███ de ████████ ████████ █████ ████████ con ███ ████████████████ █████████ (████████████ no ████████████) ████████ ██████ █ ████████.

███████████ ███████████

█████ ███████: ██████████ ████████

La ██████ de ██████████████ ███████ es ██████████ █ █████████ (█████████████) que una ██████████ ██████████ entre ████████ se █████ ████████ de ██████ ███████████ en una █████████ ████████. De ██████ ████████, una ██████████ ██████████ (█████████████ un ███████████) entre ███████ ████████████ (no ██████████ █████████) se ████████ ███████████ ███████, lo que █████████ ██████████████ que en ████████ está ████████ en ████ la █████████ █ ██████ una ██████████████ ███████ de ████████. ██████████ esta █████████ fue un ██████ █████████ en el ██████████ de la ██████ de ██████████.

Por el █████████, una ██████████ ██████████ entre ███████ ████████████ █████ ███████████ ███████████ ███████████ (o "un ███████████ que no es ███████") si la ██████████ no █████ ██████████ a una ██████████████ ███████ en ████ la █████████. ████ un ██████ $█,$ , un ██████ $█$ (███████ por ███████████ el ██████ ██████ como la █████████) █ un ███████████ $\eta \colon X\to G(X),$ la ██████ de ███████████████ se ███████ ███ ██████████ █████ un ████████████ $A\colon X\to X$ que no ███████ con este ███████████ (por lo █████, $\eta \circ A\neq G(A)\circ \eta$ ). ███ █████████████, si se █████ █████████ que $█$ █ $G(X)$ no son ████████████ █████████, sin █████ ██████████ a un ███████████ ██████████, ████ ████████ █████████ que para "█████████" ███████████ $\eta$ , ███ █████ $A$ con el que no ███████. En ███████ █████, un █████ ████████████ $A$ ████████ para █████ los ████████████ ██████████ $\eta$ , ████████ que en otros █████ se ████ ███████ cómo █████████ un $A_{\eta }$ █████████ para ████ ███████████. Las ████████████ de la █████████ ██████ un █████ ███████: █████████ ██████████████ ████████████ es ███████ si los ██████ ████████████ son la ██████████ de █████████, por ███████.

████ es ███████ (pero ███ ██████████) a los █████████ de la ██████ de ██████ o la ██████ de ███████, donde una ██████████████ ████ de un ██████ en una ████ ███████ no es ███████, o ███ ████ no es █████, ya que ███████ █████████████ que no █████████ la ████ ███████. ██████████████ de la ████.

███████ ███████ ██████████ la ████████, ██████████ $\cong$ para un ███████████ ███████ █ $\approx$ para un ███████████ no ███████, ██████████ $=$ para la ████████ (███████████ ████████ de ████████████).

███████: █████ ███████████ de los █████

Como ███████ de la ██████████ entre el █████████ █████████ █ los ███████ ████████████, ████████████ los ██████ de █████████ de un ███████ ████████, ███████████████ el █████ ███████████ del ████.

Los ██████ de █████████ de un ███████ de █████████ son ████████████ el ████████ de los ██████ de █████████ de los ███████████, $\pi _{n}((X,x_{0})\times (Y,y_{0}))\cong \pi _{n}((X,x_{0}))\times \pi _{n}((Y,y_{0})),$ con el ███████████ ████ por la ██████████ sobre los ███ ████████, ████████████████ ██████ las ████████████ en un ███████ de █████████ son ███████████ █████████ de las ████████████ en los ███████████, lo que ██████████ una ███████████ █████████.

Sin ███████, el ████ (que es ██████████████ un ████████ de ███ ████████) █████ un █████ ███████████ ████████ a $Z^{2}$ , pero la ████████ de $\pi _{1}(T,t_{0})\approx \mathbf {Z} \times \mathbf {Z}$ no es ███████. ███████ en ██████ el ███ de $\approx$ , $\cong$ █ $=$ :

\pi _{1}(T,t_{0})\approx \pi _{1}(S^{1},x_{0})\times \pi _{1}(S^{1},y_{0})\cong \mathbf {Z} \times \mathbf {Z} =\mathbf {Z} ^{2}.

Este ███████████ █████████ con un ████████ no es ███████, ya que ███████ ████████████ de $█$ no █████████ el ████████: el █████████████████ de $█$ (███████████ como ███████ ████████ $R^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ ) ████ por $\left({\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ (███████████████ un ████ de ████ sobre una de las ██████ ███████████) █████ como esta ██████ en $\mathbb {Z} ^{2}$ (está en el █████ ██████ ███████ ${\text{GL}}(\mathbb {Z} ,2)$ de ████████ ███████ ███████████), que no ████████ la ██████████████ como ████████ ██████ no es ████████. Sin ███████, si se ██ el ████ como el ████████ $(T,t_{0})=(S^{1},x_{0})\times (S^{1},y_{0})$ (de ██████ ███████████, ████ una ██████████████ del ███████), ████████ la ████████ del █████ se █████ de la ██████████ ███████ ████████. En ████████ ███████████, la █████████ █████████ (que ████████ la ██████████ de un ███████ de ████████) es "████████████ de ████████ de █████████, es █████, un ███ de ████████████ entre los ███████████ ███████████".

La ███████████ es una ██████ ██████████ █ ████████ ser ███ ███████ ██████ de qué █████ se ███ ███████████: el ████ como un ███████ que ███████ ser un ████████ (en la █████████ de ████████ █ ████████████ █████████) es █████████ del ████ ██████████ como un ████████ (en la █████████ de █████████ de ███ ████████ █ ████████████ █████████ entre los ███████████ ███████████).

███████: ████ de un ███████ █████████ de █████████ ██████

████ ███████ █████████ de █████████ ██████ es ████████ a su ███████ ████, pero █████ █████ ██████ ████████████ ██████████ entre los ███ ████████. En ███████, no ██████ un ███████████ ███████ entre un ███████ █████████ de █████████ ██████ █ su ███████ ████. Sin ███████, las ██████████ ████████████ (con ██████████ █████████ █ █████████████ en las ████████████) ██████ un ███████████ ███████, como se ████████ a ████████████.

El ███████ ████ de un ███████ █████████ de █████████ ██████ es ██████████ un ███████ █████████ de █████████ ██████ de la █████ █████████ █, por lo █████, son ███████████, ya que la █████████ es el █████ ██████████ de los ████████ ███████████ de █████████ ██████ en un █████ ████. Sin ███████, en ████████ de █████████████ ███████████ (como el █████████ de que las ████████████ █████████ la ████ ███████), la ██████████ de un ███████ a su ████ no es █████ █, por lo █████, ███ ███████████ ████████ una ████████ █ "no es ███████". En la █████████ de ████████ ███████████ de █████████ ██████ █ ████████████ ████████, se █████ ███████ un ███████████ ████████████ de ████████ ███████████ a su ████ █████████ un ███████████ para ████ ███████ (███████ por ████, █████████ una ████ para ████ ███████ █████████ █ ███████ el ███████████ ███████████████), pero ████ no ████████ una ██████████████ ███████. ██████████████ ████ se ████ a que ████████ una ████████, █████████████ ██████ "█████████" ████████ de ████████████ no █████████ con, por ███████, la ██████████ ████ (██████████ (███ ████ █ ████████, ████, §██.█) para una █████████ █████████).

A ██████ de ████████ ███████████ de █████████ ██████ (como ███████) █ los ████████ █████████ █ ██████, se █████ ███████ un ███████████ ███████, pero ████ ████████ ███████ ███████ una ██████████ █████████ █ █████ ██████████ las ████████████ de "█████ las ████████████ ████████" a "████████████ ████████ que ████████ este ██████████". ██████████████, para ████ ███████ █████████, se ████████ que █████ con los █████ de un ███████████ a su ████, $\eta _{V}\colon V\to V^{*}$ . En otras ████████, se █████ como ███████ ████████ ███████████ con una █████ ████████ no ██████████ $b_{V}\colon V\times V\to K$ . ████ ██████ un ███████████ ████████████ (███████████ para ████ ██████). ████████ se ██████████ las ████████████ ████ a ████████ ████████████ $T\colon V\to U$ que ████████ con los ████████████: $T^{*}(\eta _{U}(T(v)))=\eta _{V}(v)$ o, en otras ████████, █████████ la █████ ████████: $b_{U}(T(v),T(w))=b_{V}(v,w)$ (estas ████████████ ███████ el █████████████ de los ████████████). La █████████ ██████████, con ███████ de ████████ ███████████ de █████████ ██████ con una █████ ████████ no ██████████, █ ████████████ de ████████████████ ████████ que ████████ la █████ ████████, por ████████████ █████ un ███████████ ███████ de la █████████ al ████ (████ ███████ █████ un ███████████ con su ████, █ las ████████████ de la █████████ █████ ████████). █████ desde esta ███████████, esta ████████████ (███████ ████████████████ para ████ ██████, ██████████ ████████████ para ████████ con ellos) es █████████████ ███████ █ no ███████ de ███████ █████████ ██████████ de los ████████ ███████████.

En esta █████████ (████████ ███████████ de █████████ ██████ con una █████ ████████ no ██████████, ████████████████ ████████ de ████████████ que ████████ la █████ ████████), el ████ de una ██████████ entre ████████ ███████████ se █████ ███████████ como la ██████ ███████████. A ██████, por ███████ de ███████ ██████████, ████ se ███████████ en una ████████████, al ████████ que las ██████ ██████████ no ███████████ ██████ ███████████ ███████████, como ser ██████████ (██████ █████████), ██████████ █ █████████ █████████ (███████ ████████ ████████), ██████████████ ██████████ (████████ ██████████), o ██████████████ █ ██████████ ███████████ (███████ █████████ ███████████ entre otras). En █████ estas ██████████ un ███████ █████████ se ██████████ ████████████ con su ████, por la █████ ████████ no ██████████.

███████████ con ████████████████ █████████

███████████ ████████

Si $\eta :F\Rightarrow G$ █ $\epsilon :G\Rightarrow H$ son ████████████████ █████████ entre los ████████ $F,G,H:C\to D$ , ████████ se █████ ███████████ para ███████ una ██████████████ ███████ $\epsilon \circ \eta :F\Rightarrow H$ . ████ se ████ por ███████████:

(\epsilon \circ \eta )_{X}=\epsilon _{X}\circ \eta _{X}

Esta ███████████ ████████ de ████████████████ █████████ es ██████████ █ █████ una █████████, █ ███████ ██████████ la █████████ de █████ los ████████ $C\to D$ como una █████████ (█████ ███ █████ en ██████████ ███████████). La ██████████████ ███████ de █████████ $\mathrm {id} _{F}$ en el ██████ $█$ █████ ███████████ $(\mathrm {id} _{F})_{X}=\mathrm {id} _{F(X)}$ .

Para

\eta :F\Rightarrow G

\mathrm {id} _{G}\circ \eta =\eta =\eta \circ \mathrm {id} _{F}

███████████ ██████████

Si $\eta :F\Rightarrow G$ es una ██████████████ ███████ entre los ████████ $F,G:C\to D$ █ $\epsilon :J\Rightarrow K$ es una ██████████████ ███████ entre los ████████ $J,K:D\to E$ , ████████ la ███████████ de ████████ ███████ una ███████████ de ████████████████ █████████ $\epsilon *\eta :J\circ F\Rightarrow K\circ G$ con ███████████

(\epsilon *\eta )_{X}=\epsilon _{G(X)}\circ J(\eta _{X})=K(\eta _{X})\circ \epsilon _{F(X)}

██████ el ███████ (█████ ███ █████), se █████ ████████

(\epsilon *\eta )_{X}=(\epsilon G)_{X}\circ (J\eta )_{X}=(K\eta )_{X}\circ (\epsilon F)_{X}

por ███

\epsilon *\eta =\epsilon G\circ J\eta =K\eta \circ \epsilon F

Esta ███████████ ██████████ de ████████████████ █████████ ███████ es ██████████ con la █████████, que es a su ███ la ██████████████ ███████ de █████████ sobre el ██████, es █████, la ██████████████ ███████ que ██████ a ████ ██████ su ████████: para el ██████ $█$ en la █████████ $█$ , $(\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}})_{X}=\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}(X)}=\mathrm {id} _{X}$ .

Para

\eta :F\Rightarrow G

con

F,G:C\to D

\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{D}}*\eta =\eta =\eta *\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}}

Como los ████████ de █████████ $\mathrm {id} _{C}$ █ $\mathrm {id} _{D}$ ███████ son ████████, la █████████ para la ███████████ ██████████ ███████ es la █████████ para la ███████████ ████████, pero no al █████.

███████

El ███████ es una █████████ ███████ entre un ██████ █ una ██████████████ ███████.

Si $\eta :F\Rightarrow G$ es una ██████████████ ███████ entre los ████████ $F,G:C\to D$ █ $H:D\to E$ es otro ██████, ████████ se █████ ██████ la ██████████████ ███████ $H\eta :H\circ F\Rightarrow H\circ G$ ██████████

(H\eta )_{X}=H(\eta _{X})

Si por otro ████ $K:B\to C$ es un ██████, la ██████████████ ███████ $\eta K:F\circ K\Rightarrow G\circ K$ se ██████ por

(\eta K)_{X}=\eta _{K(X)}

███████ es una ███████████ ██████████ donde una de las ████████████████ █████████ es la ██████████████ ███████ de la █████████:

H\eta =\mathrm {id} _{H}*\eta

█

\eta K=\eta *\mathrm {id} _{K}

███████ en ██████ que $\mathrm {id} _{H}$ (███████████████, $\mathrm {id} _{K}$ ) ████████████ no es la █████████ █████████ (███████████████, ███████) de la ███████████ ██████████ $*$ ( $H\eta \neq \eta$ █ $\eta K\neq \eta$ en ███████), ███████ si $█$ (████. $█$ ) es el ██████ de la █████████ $█$ (███████████████, $█$ ).

███ de ███████████

Las ███ ███████████ █████ ████████████ por una █████████ que ███████████ la ███████████ ████████ con la ███████████ ██████████: si se ██████ ██████ ████████████████ █████████ $\alpha ,\alpha ',\beta ,\beta '$ como se ███████ en la ██████ de la ███████, ████████ se ██████ la █████████ █████████:

(\beta '\circ \alpha ')*(\beta \circ \alpha )=(\beta '*\beta )\circ (\alpha '*\alpha )

Las █████████████ ██████████ █ ████████████ ███████ █████ ██████████ a ██████ de ████████████████ █████████ de █████████:

para

F:C\to D

█

G:D\to E

\mathrm {id} _{G}*\mathrm {id} _{F}=\mathrm {id} _{G\circ F}

Como el ███████ es una ███████████ ██████████ con la █████████, la ███ de ███████████ ██ ██████████████ las ████████ █████████ de ███████████ ██████████ de $\eta :F\Rightarrow G$ █ $\epsilon :J\Rightarrow K$ sin █████ que ████████ ███████████ █ el ████████ ███████████:

{\begin{aligned}\epsilon *\eta &=(\epsilon \circ \mathrm {id} _{J})*(\mathrm {id} _{G}\circ \eta )=(\epsilon *\mathrm {id} _{G})\circ (\mathrm {id} _{J}*\eta )=\epsilon G\circ J\eta \\&=(\mathrm {id} _{K}\circ \epsilon )*(\eta \circ \mathrm {id} _{F})=(\mathrm {id} _{K}*\eta )\circ (\epsilon *\mathrm {id} _{F})=K\eta \circ \epsilon F\end{aligned}}

██████████ ███████████

Si $█$ es █████████ █████████ █ $█$ es una █████████ ███████, se █████ ██████ la █████████ █████████ $C^{I}$ ████████ como ███████ █████ los ████████ desde $█$ a $█$ █ como █████████ las ████████████████ █████████ entre esos ████████. ████ █████ una █████████ ya que para █████████ ██████ $█$ ███ una ██████████████ ███████ de █████████ $1_{F}:F\to F$ (que ██████ a ████ ██████ $█$ el ████████ de █████████ en $F(X)$ ) █ la ███████████ de ███ ████████████████ █████████ (la "███████████ ████████" ████████) es ██████████ una ██████████████ ███████.