███████████

███████████ ist ein ██████████████ ███████, das in ██████ █████████████ zum ███████ █████, ████████████ in der █████████████ █████████. Das ████ ███████████ wird dabei in ████ █████████████ ███████████ █████████: ██████████ ███ die █████████████████ der ███████████ eines ██████████ █████████████████, ████████████ ███ die █████████ ██████ █████████████████ auf ████████ ████████████████, die ███ z. B. aus einer ████████████████ (██-████-███████████), einem █████████████ ████ (█████████ ███████████), einem █████████████████ (███████████ ███████████) oder einer ██████ (██████████████████) ██████. Ein ███████████ ██████████████████████ ███ ████████████████ ███████████████████ ███████ ██████████ ████████.

Das ███████ wurde in den ██████ ██████ ██████████ von ██████ ██████████ und █████ W. █████████ ██████████.

███████████ eines █████████████████

█████████████████

Sei $(C^{\bullet },d^{\bullet })$ ein ███████████████. Das ████████:

███ █████ $k\in \mathbb {Z}$ ist eine ████████ ██████ $C^{k}$ ███████ (█████████: ein ██████ einer █████████ █████████)
███ █████ $k\in \mathbb {Z}$ ist ein █████████████████████ $d^{k}\colon C^{k}\to C^{k+1}$ ███████ (█████████: ein ██████████), ███████ ████████████ oder ██████████████
███ █████ $k\in \mathbb {Z}$ ████ $d^{k}\circ d^{k-1}=0$ als █████████ $C^{k-1}\to C^{k+1}$

Daraus kann ███ die █████████ ███████ ████████████:

$Z^{k}=\ker(d^{k})$ . ████████ von $Z^{k}$ ██████ $k$ -████████.
$B^{k}={\text{im}}(d^{k-1})$ . ████████ von $B^{k}$ ██████ $k$ -████████. █████ █████████ █. ist $B^{k}\subseteq Z^{k}$ , █████ ██████ ist also ein ███████. ████ ███████ ██████ █████████, ████ ████ █████████ ein ██████ ist. █████████ zu sein, ist eine ██████████████████.
$H^{k}(C^{\bullet },d^{\bullet })=Z^{k}/B^{k}$ , ███████ die $k$ -██ █████████████████ von $(C^{\bullet },d^{\bullet })$ . ████ ████████ sind █████████████████ von ████████ ███ die ██████████████████ „█████████“. █████ dann ████ $H^{k}(C^{\bullet },d^{\bullet })=0$ , ████ $(C^{\bullet },d^{\bullet })$ an der ██████ $k$ █████ ist. Die █████████████████ ist also ein ███ ███ ██████████████.

An ██████ ██████ sind ███████████ und █████████ ████ ██████ ███████: ███ einen ███████████████ $(C^{\bullet },d^{\bullet })$ ist $({\tilde {C}}_{\bullet },{\tilde {d}}_{\bullet })$ mit ${\tilde {C}}_{k}=C^{-k}$ , ${\tilde {d}}_{k}=d^{-k}$ ein █████████████, und $H^{k}(C^{\bullet },d^{\bullet })=H_{-k}({\tilde {C}}_{\bullet },{\tilde {d}}_{\bullet })$ .

Sind $(C_{1}^{\bullet },d_{1}^{\bullet })$ und $(C_{2}^{\bullet },d_{2}^{\bullet })$ ████ ████████████████ und $f^{\bullet }:C_{1}^{\bullet }\to C_{2}^{\bullet }$ eine ███████████████, d. █. ████ $f^{k+1}\circ d_{1}^{k}=d_{2}^{k}\circ f^{k}$ ███ alle $k$ , ██████ ███ ████████████ ██████████████ $f_{*}^{k}:H^{k}(C_{1}^{\bullet },d_{1}^{\bullet })\to H^{k}(C_{2}^{\bullet },d_{2}^{\bullet })$ . Sind ████ █████████████████ $f^{\bullet },g^{\bullet }:C_{1}^{\bullet }\to C_{2}^{\bullet }$ ███████, ist $f_{*}=g_{*}$ .

Die █████ ██████ ███████

Sei eine █████ ██████ ███████ von █████████████████ ███████:

0\to C_{1}^{\bullet }{\stackrel {f^{\bullet }}{\longrightarrow }}C_{2}^{\bullet }{\stackrel {g^{\bullet }}{\longrightarrow }}C_{3}^{\bullet }\to 0

(die $d_{i}^{\bullet }$ █████ der █████████████████ ██████ ███████████). Das ████████: $f^{\bullet }$ und $g^{\bullet }$ sind █████████████████, und ███ █████ $k$ ist

0\to C_{1}^{k}{\stackrel {f^{k}}{\longrightarrow }}C_{2}^{k}{\stackrel {g^{k}}{\longrightarrow }}C_{3}^{k}\to 0

█████. Dann ████ es so ████████ █████████████████████████ $\delta ^{k}:H^{k}(C_{3}^{\bullet })\to H^{k+1}(C_{1}^{\bullet })$ , so dass die ███████

\dots {\stackrel {\delta ^{k-1}}{\longrightarrow }}H^{k}(C_{1}^{\bullet }){\stackrel {f_{*}^{k}}{\longrightarrow }}H^{k}(C_{2}^{\bullet }){\stackrel {g_{*}^{k}}{\longrightarrow }}H^{k}(C_{3}^{\bullet }){\stackrel {\delta ^{k}}{\longrightarrow }}H^{k+1}(C_{1}^{\bullet }){\stackrel {f_{*}^{k+1}}{\longrightarrow }}H^{k+1}(C_{2}^{\bullet }){\stackrel {g_{*}^{k+1}}{\longrightarrow }}H^{k+1}(C_{3}^{\bullet }){\stackrel {\delta ^{k+1}}{\longrightarrow }}\dots

█████ ist.

$\delta ^{k}$ kann so ███████████ werden: Sei $a\in Z_{3}^{k}$ (███████ in $(C_{3}^{\bullet },d_{3}^{\bullet })$ ). Weil $g^{k}$ █████████ ist, ███████ $a$ ein ██████ $b\in C_{2}^{k}$ . Es ist $g^{k+1}d_{2}^{k}b=d_{3}^{k}g^{k}b=d_{3}^{k}a=0$ , also ist $d_{2}^{k}b=f^{k+1}c$ ███ ein $c\in C_{1}^{k+1}$ . ███ ist $f^{k+2}d_{1}^{k+1}c=d_{2}^{k+1}f^{k+1}c=d_{2}^{k+1}d_{2}^{k}b=0$ , aber weil $f^{k+2}$ ████████ ist, █████ $d_{1}^{k+1}c=0$ , also ist $c$ ein $(k+1)$ -███████, und ███ kann $\delta ^{k}[a]=[c]$ ██████. (Zu einem █████████████ ██████ █████ ████ der ████████ der █████████████████, d. █., dass $c$ ein ██████ ist, ████ $a$ ein ██████ ist.) █████████ ██████ ████ ██████ ████████████.

Das ██████████████ ist ein ███████████ ██████ ████████████.

███████████ ██████████

In ██████ ███████████ ist ████ █████████ ██████████ ███████████████ ██████████, dessen ███████████ ███ ██████ ██████, ███████ ███ ████ oder █████████ kann ██████ ███████, die sich aber auf das ███████████, die ███████████, nicht █████████. Die ███████████ █████████ ist eine ████████████ der █████████ der ████████████████, in der █████ █████████████ ██████ bereits ████████ sind, so dass der ██████ ███████, das ██████ der ███████████, nicht ████ █████ ist, um █████████████ zu █████████.

███████████████████

███████████

Eine ████████ ██████████████████ hat die ████ von ███████ $H^{k}(X,A)$ ███ $k\geq 0$ , █████ $X$ ein ████ und $A$ im ███████████ ████ eine ████████ ██████ ist. ███████ ███████ █████████████ sind:

$H^{k}(X,A)$ ist █████████████ in $X$ und █████████ in $A$
Es ████ eine █████ ██████ ██████████████████.
Es ████ ████████ $H^{p}(X,A)\times H^{q}(X,B)\to H^{p+q}(X,A\otimes B)$ , so dass $\textstyle \bigoplus _{k\geq 0}H^{k}(X,A)$ zu einem ███████████ ████ wird, ████ $A$ ██████ ein ████ ist.

Zwar ██████ █████ der ███████████████████ ███████████ ████████ und ███████ in ██████, in denen ███████ ████████ █████████ sind, auch ██████ ████████ █████████, aber es ████ █████ █████████████ ██████████.

Es ██████ ████ einige █████████.

██-████-███████████

Sei $X$ eine ██████ ████████████████. Die ██-████-███████████ $H_{\text{dR}}^{\bullet }(X)$ von $X$ ist die ███████████ des █████████

0\to C^{\infty }(X){\stackrel {\text{d}}{\longrightarrow }}\Omega ^{1}(X){\stackrel {\text{d}}{\longrightarrow }}\Omega ^{2}(X){\stackrel {\text{d}}{\longrightarrow }}\dots

(nach █████ ███████ durch ██████), █████ $\Omega ^{k}(X)$ die ████████ ██████████████████ vom ████ $k$ und ${\text{d}}$ die ██████-█████████ sind.

Ist $f\colon X\to Y$ eine ██████ █████████ zwischen ███████ ██████████████████, ██████████ das ████████████ $f^{*}\colon \Omega ^{k}(Y)\to \Omega ^{k}(X)$ von ██████████████████ mit der ██████-█████████, also █████████ $f^{*}$ eine ███████████████, die ██████████████ $H_{\text{dR}}^{k}(Y)\to H_{\text{dR}}^{k}(X)$ █████████.

Das ███████████ von ██████████████████ █████████ eine ███████████████ auf $H_{\text{dR}}^{*}(X)$ .

████████████ mit ███████ ████████████ sind eine █████████ ██████████████████████ ███ die ██-████-███████████.

█████████ ███████████

Sei $X$ ein █████████████ ████ und $A$ eine ████████ ██████. Sei ██████ $\Delta ^{k}=\{x\in \mathbb {R} ^{k+1}:x_{0}+\dots +x_{k}=1,\ {\text{alle}}\ x_{i}\geq 0\}$ das ████████- $k$ -███████. Die █████████████ eines ███████ sind ██████ ██████ █████████, ████████████ den ████████████ $\partial _{k}^{i}\colon \Delta ^{k-1}\to \Delta ^{k}$ , $x\mapsto (x_{0},\dots ,x_{i-1},0,x_{i},\dots ,x_{k-1})$ ███ $i=0,\dots ,k$ . Sei ███ $X_{k}$ die █████ der ████████ ███████████ $\Delta ^{k}\to X$ in einen █████████████ ████ $X$ . Durch ██████████ mit $\partial _{k}^{i}$ ███████ ███ ███████████ $X_{k}\to X_{k-1}$ . Im ████████ ███████ sei $C_{k}$ die █████ ████████ ██████ auf der █████ $X_{k}$ , und $\partial _{k}\colon C_{k}\to C_{k-1}$ █████████ durch $\textstyle \partial _{k}(\sigma )=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}(\sigma \circ \partial _{k}^{i})$ ███ $\sigma :\Delta ^{k}\to X$ :\█████ ^{k}\██ X} . Es ist $\partial _{k-1}\partial _{k}=0$ , also ist $(C_{\bullet },\partial _{\bullet })$ ein █████████████, der █████████ █████████████ von $X$ . █████ ███ ███████████ $C^{k}={\text{Hom}}(C_{k},A)$ und $d^{k}\colon C^{k}\to C^{k+1}$ , $d^{k}s=s\circ \partial _{k}$ , ██████ ███ den ██████████ ███████████████ von $X$ , dessen ███████████ die █████████ ███████████ $H^{k}(X,A)$ ist.

$A$ wird als der █████████████████ der ██████████████████ ██████████.

Als █████████ ███████████ wird die ███████████ mit █████████████ $A=\mathbb {Z}$ ██████████.

███ eine ███████ █████████ $X\to Y$ ██████ ███ eine ███████████████ $C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Y)$ , daraus eine ███████████████ $C^{\bullet }(Y,A)\to C^{\bullet }(X,A)$ und █████ einen █████████████ ██████████████ $H^{k}(Y,A)\to H^{k}(X,A)$ .

███ einen ████████ $Y\subseteq X$ ist $C_{\bullet }(Y)$ ein ████████████ von $C_{\bullet }(X)$ , und mit $C_{\bullet }(X,Y):=C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(Y)$ ██████ ███ eine █████ ██████ ███████ von ███████████████, die durch █████████ von ${\text{Hom}}(?,A)$ eine █████ ██████ ███████ von █████████████████ ██████:

0\to C^{\bullet }(X,Y,A)\to C^{\bullet }(X,A)\to C^{\bullet }(Y,A)\to 0

Daraus ██████ ███ nach der ███████████ ████████████ eine █████ ██████ ██████████████████:

\dots \to H^{k}(X,Y,A)\to H^{k}(X,A)\to H^{k}(Y,A)\to H^{k+1}(X,Y,A)\to H^{k+1}(X,A)\to H^{k+1}(Y,A)\to \dots

███ den █████████ der ██████████████████ $H^{k}(X,A)$ und $H^{k}(X,B)$ ███ ████████████ ████████████████████ $A, B$ kann ███ das so ████████ ███████████ ████████████████████ ████████.

██████ █████████ und ██████ ████████ haben eine █████ von █████████ █████████████ █████████, die eine ██████████████████ ███ ████████████ █████ ████████ ██████, die █████████-████████-██████. Es ████ im ████████████ ███ eine ██████████████████, die die ██████ ███████, und █████████ ███████████ ist eine ██████.

██████████████████

Die ██████████████████ $H^{k}(G,A)$ hat ████ █████████: eine ██████ $G$ und einen $G$ -█████ $A$ . Im █████████████████████ $A$ ist die ███████████ █████████, und es ████ eine █████ ██████ ██████████████████. Im ████████ $G$ ist die ███████████ in einem ██████████ ████ █████████████, z. B. ████ ███ als █████████████ eine █████ ████████ ██████ mit █████████ █████████ █████. Der ████████████ zwischen der ███████████ einer ██████ und einer ████████████ ███. eines █████████████ wird durch die ██████████-█████-███████████████ ███████████.

███████████████

Die ███████ █████ $\oplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)$ wird mit dem ███-███████ zu einem █████████ ████████████ ████, dem ███████████ ███████████████ des ██████ X.

█████████████ ███████████

Nicht in das ██████ der oben ███████████ █████████████████ ██████ ████████████ ██████████████, die eine ███████████ $H^{k}(X,G)$ ███ █████████████ █████████████ ███████, aber ████████ auf $k=0$ und $k=1$ ████████ sind, z. B. in der ███████- oder █████████████████. ████ ██████ hat eine ██████████████ der ██████████████ ███████████ ███ $k=2$ mit █████ von ██████ ██████████.

█████ auch

████████ (█████████) zur ████████████ █████████████████ ███████████████████

█████████

I. M. ███████, Y. █████: ███████████ ███████ (= █████████████ ██ ████████████ ████████. ██████ ███: ███████. V). ███ ███████, ███ ████████. ████████, ██████ u. a. ████, ████ █-███-█████-█.
████ ██████: ███████████ ███ █████████ (= Die ███████████ der ██████████████ ██████████████ in ███████████████████ mit ██████████ ████████████████ der █████████████████ ███). ████████, ██████ u. a. ████, ████ █-███-█████-█.
Allen ███████: █████████ ████████. █████████ ██████████ █████, █████████ u. a. ████, ████ █-███-█████-█.
███████ A. ██████: An ████████████ ██ ███████████ ███████ (= █████████ ███████ in ████████ ███████████ ██). █████████ ██████████ █████, █████████ u. a. ████, ████ █-███-█████-█.