██████ (██████ das ██████████)

Na ██████ das ██████████, uma ██████, ██████ ou ██████ (ou ██████, ████ █████ █████ █████) é um ███████████, █████ a ████ ██████████████ ████████, ████████████ ██████ ███████████ ████████ às de um ███████. ██████████ do ████████ ███████ a ████████████ de █████████████ com as ██████████ de ████████ sobre ███████, █████ ████████ na ███████ █████████, ████ do ███ na ███████ da ██████████ como ██████ ███████████ para, por ███████, a ███████████ de ██████ ██████ e o ███ ████████████.

█████████

Uma ██████ numa █████████ █ ████████ de um ███████ █ : █ → █, uma █████████████ ███████ █ : █ ⇒ █, ███████ ███████, e uma █████████████ ███████ █ : █^█ ⇒ █, ███████ █████████████, ████ que os █████████ ██████ ███████:

███████ sobre ██████

████ ██████ (█, █, █) na █████████ █, uma █-███████ é uma █████ ███████████ de ██████ █ ∈ █ e ████████ █ : █(█) → █ ████ que os █████████ ██████ ███████:

Um ████████ (█, █) → (█′, █′) entre █-████████ é um ████████ █ : █ → █′ em █ ███ que o ████████ ██████ ██████:

█████, as █-████████ ██████ uma █████████, ███████ █████████ de █████████–█████ para █, e ████████ por █^█.

████████

████ ████████ (█, █, █, █) : █ ⇀ █ █████████ uma ██████, com ███████████ █ = █ ∘ █ : █ → █, ███████ █ : █ ⇒ █ (isto é, a █████ que a ███████ da ████████) e █████████████ █ = ███ : █^█ ⇒ █. A ██████, ████████ de ███████ ████████████ de █████████:
- A ████████ entre o ███████ █████ █ e █ → █ o █ e o ███████ "███████████" █ o █ → █ e █ , em que █ o █ ██████ a █████████ de ████████, ███████ a ██████ de █████ (como ███████ na ███████ da ██████████), na qual
  $T(A)=\coprod _{n\in \{0,1,\ldots \}}A^{n}$ , isto é, o ████████ de ██████████ ███████ de █████████ de $A$ ,
  
  $\eta _{A}(a)=\iota _{1}(a)$ , a █████████ de um ████████,
  
  e $\mu$ pode ser ████████ por ████████████ de ██████████.
  - As █-████████ ████████████ ██████████████ a ████████, de ████ que o ████████ █(A) → A ███████████ à ███████ de ███████ A^█ → A, ███████ uma █████████ (a_█, …, a_█) ao ███████ a_█ ∘ … ∘ a_█ (que ████ a ██████████ se █ = █).
- █████████-se █ e █ ⋆ a █████████ dos █████████ com um dos █████████ ███████████, ███████ "████", e com █████████ as ███████ de █████████ que █████ uma ████ a █████ ████, ██ a ████████ entre █ : █ e █ → █ e █ ⋆ e █ : █ e █ ⋆ → █ e █ , onde █ ( A ) = ( A ⨿ { ∙ } , █ █ ( ∙ ) ) (████████ uma ████) e █ ( A , a ) = A (███████ qual é a ████). A ██████ ██████████████ é ███████ de ██████ "██████", na qual:
  $T(A)=T\amalg \{\bullet \}$ , uma █████ ████████ com um ████ ████████,
  
  $\eta _{A}(a)=\iota _{1}(a)$ ,
  
  $\mu _{A}(\iota _{1}(\iota _{1}(a)))=\iota _{1}(a)$ , $\mu _{A}(\iota _{1}(\iota _{2}(\bullet ))=\mu _{A}(\iota _{2}(\bullet ))=\iota _{2}(\bullet )$ .
  - A █████████ █^█, █████ ████, é ████████ à █████████ ${\mathsf {Set}}_{\star }$ .
Quando █ é uma ███-█████, uma ██████ é uma ██████ █████████ █ : █ → █ ████████████ █ ≤ █(█), █(█(█)) ≤ █(█), para ████ █ ∈ █; no ████ em que a █████ é ███████, █ é ███████ ████████ de █████, e as █-████████ ████████████ aos █████████ ████████ (isto é, aqueles ████████████ █(█) = █).
Para ████ ███████ (█, e, ∘), ██ uma ██████ na █████████ dos █████████, na qual █(A) = █ × A, █_A(a) = (e, a) e █_A(█, (█, a)) = (█ ∘ █, a). Uma █-███████ é uma ████ de ███████.

█████████ a ██████ de ███████

████ ██████ (█, █, █) em █, ██ uma ████████

(█^█, █^█, █^█, █^█) : █ ⇀ █^█,

em que ${\begin{aligned}G^{T}\left((x,h){\xrightarrow {f}}(x',h')\right)&=x{\xrightarrow {f}}x'\\F^{T}\left(x{\xrightarrow {f}}x'\right)&=(T(x),\mu _{x}){\xrightarrow {T(f)}}(T(x'),\mu _{x'})\\(\eta ^{T})_{x}&=\eta _{x}\\(\epsilon ^{T})_{(x,h)}&=h,\end{aligned}}$ e █████ mais esta ████████ █████ a ██████ (█, █, █) (isto é, █ = █^█ ∘ █^█, █ = █^█ e █ = █^█ █^█ █^█).

A █-███████ (█(█), █_█), ██████████ na █████████ de █^█, é ███████ █-███████ █████.

█████████ de ███████

A █████████ de ███████ █_█ para uma ██████ (█, █, █) é ████████ por:

███ os seus ███████ a_█ em ███████████████ █████████ com os ███████ a de █;
███ os seus █████████ █_█ : a_█ → █_█ em ███████████████ █████████ com os █████████ █ : a → █(█), com ███████████ e ███████████ ${\begin{aligned}a_{T}{\xrightarrow {1_{a_{T}}}}a_{T}&=\left(a{\xrightarrow {\eta _{a}}}T(a)\right)_{T}\\a_{T}{\xrightarrow {f_{T}}}b_{T}{\xrightarrow {g_{T}}}c_{T}&=\left(a{\xrightarrow {f}}T(b){\xrightarrow {T(g)}}T^{2}(c){\xrightarrow {\mu _{c}}}T(c)\right)_{T}.\end{aligned}}$

██ ██████ uma ████████

(█_█, █_█, █_█, █_█) : █ ⇀ █_█,

em que ${\begin{aligned}F_{T}(a{\xrightarrow {f}}b)&=\left(a{\xrightarrow {f}}b{\xrightarrow {\eta _{b}}}T(b)\right)_{T}\\G_{T}(a_{T}{\xrightarrow {g_{T}}}b_{T})&=T(a){\xrightarrow {T(g)}}T^{2}(b){\xrightarrow {\mu _{b}}}T(b)\\a{\xrightarrow {(\eta _{T})_{a}}}G_{T}(F_{T}(a))&=a{\xrightarrow {\eta _{a}}}T(a)\\F_{T}(G_{T}(a_{T})){\xrightarrow {(\epsilon _{T})_{a_{T}}}}a_{T}&=\left(T(a){\xrightarrow {1_{T(a)}}}T(a)\right)_{T},\end{aligned}}$ e █████ mais esta ████████ █████ a █████ ██████.

███████ ████████

A █████████ de █████████–█████ e a █████████ de ███████ ██████████ a ███████████ █████████ a ██████. Para ████ ████████ (█, █, █, █) : █ ⇀ █, █████████-se por (█, █, █) a ██████ █████████, ██ █████ ███████ █ : █_█ → █ ███ que █ ∘ █ = █_█ e █ ∘ █_█ = █, e ██ █████ ███████ █ : █ → █^█ ███ que █^█ ∘ █ = █ e █ ∘ █ = █^█; com ██████, eles têm ██████████: ${\begin{aligned}K(d{\xrightarrow {g}}d')&=(G(d),G(\epsilon _{d})){\xrightarrow {G(g)}}(G(d'),G(\epsilon _{d'}))\\L(a_{T}{\xrightarrow {f_{T}}}b_{T})&=F(a){\xrightarrow {F(f)}}F(G(F(b))){\xrightarrow {\epsilon _{F(b)}}}F(b).\end{aligned}}$

Um ███████ █ é ████ ████████ (███████████████ ████████████ ████████) se e ██ se ███ █████ de uma ████████ (█, █, █, █) : █ ⇀ █ (que é ███████ uma ████████ ████████) para a qual o ███████ de ██████████ █ : █ → █^█ é uma ████████████ de ██████████ (███████████████ um ███████████ de ██████████).

███████ de ████████████

████ ███████ █ : █ → █, um █████████████ que █-█████ para uma █████ de █████████ █████████ █, █ : █ → █ em █ é um █████████████ que █████ para a █████ █(█), █(█) : █(█) → █(█). O ███████ █ : █ → █ é ████

████████████ █████ ███████████████ que █-██████ quando, ██████ que █ é █████████████ que █████ para uma █████ █(█), █(█), ██████ █████ ████████ █ em █ ███ que █(█) = █, e █████ mais este █ é █████████████ para █, █ (███ ███████████████ que █████).
█████ ███████████████ que █-██████ quando, ██████ que █, █ tem █████████████ que █-█████, █, █ tem █████████████ (███ ███████████████ que █████) ██████████ por █, e █████ mais, ██████ que █ ████████ █ ∘ █ = █ ∘ █ e é ███ que █(█) é █████████████ que █████ para █(█), █(█), █████ █ ████ ser █████████████ para █, █ (███ ███████████████ que █████).