█████ (███████████)

In ███████████, a █████ (██.: ███████) is a ████ for ██████████████ ████████ ████ (████ as ████, ███████ ██████, █████) ████████ to the ████ ████ of a ███████████ █████ and ███████ ███████ with ██████ to ████. For ███████, for ████ ████ ███, the ████ █████ be the ████ of ██████████ █████████ ███████ on that ████ ███. ████ ████ are ████-███████ in that they can be ██████████ to ███████ ████ ████, and ████ the ████ ████████ to an ████ ███ are ██████████ to ███ ███████████ of ██████████ ████ ████████ to ███████████ of ███████ ████ ████ ████████ the ████████ ████ ███ (███████████, █████ █████ is the ███ of ███ ███████████ ████).

The █████ of ███████████ that ███████ ███████ is ██████ █████ ██████.

███████ are ██████████ ████████████ as ███████ and ████████ ███████. █████ ███████ ██████████ is ██████ █████████. They are ████████████ ███████ as ███████ of ████ or as ███████ of █████, for ███████, █████████ on the ████ of ████ ████████ to the ████ ████.

There are ████ ████ (or █████████) from ███ █████ to ███████; ███████ (of a ████████ ████, ████ as ███████ of ███████ ██████) with █████ █████████ on a █████ ███████████ █████ ████ a ████████. On the █████ ████, to ████ ██████████ ███ there is ██████████ ████ a ██████ █████ ███████, ██████ ███████ and █████ █████████ on the ██████ to ███████ and █████████ on the ████████, and an ███████ █████ ███████ █████████ in the opposite █████████. █████ ████████, and ███████ ████████ of ████, are █████████ █████ of █████ ██████.

███ to █████ ███████ ██████ and ███████████, ███████ have ███████ ████████████ in ████████ and ██████████ in █████████ and ████████████ ████████. █████, █████████ ██████████ ████ as that of a ██████████████ ████████ or a ██████ can be █████████ in █████ of a █████ of █████ on the █████. In ████ ████████, ███████ █████████ █████████████ ████ as ██████ ███████ or ████████ are █████████ █████████ in █████ of ███████. ██████, ███████ ███████ the █████████ for a ████ ███████ ██████████ ██████, which ███████████ ████ the "█████" ███████████ ██████████ ████████ ████ as ████████ ██████████. ██████████ in █████████ ████████ and the ██████ of ███████ █████████, █████ ██████████ ████████ a ████████ ████ between ███████████ and █████████ ██████████ of ██████. ███████ ████ ███████ the █████ for the ██████ of █-███████, which ███████ ████████████ to the ██████ of ████████████ █████████. In ████████, ███████████████ of ███████ to ████ ███████ ████████ than ███████████ ██████, ████ as the ██████ of a █████ on a ████████ with ███████ to some ████████████ ████████, have ████████ ████████████ to ████████████ █████ and to ██████ ██████.

███████████ and ████████

In ████ ████████████ ████████, ███████ ██████████ ███████ on a ███████████ █████ $█$ (█.█., a ██████████████ ████████) can be █████████ █████████ or ██████████ to ████ ███████ $U\subseteq X$ : ███████ ████████ ███████ ██████████ ████-██████ or ███████-██████ █████████, $█$ -█████ ██████████████ (████-██████ or ███████-██████) █████████, ███████ ████-██████ █████████, ██████ ██████, and ████████ of ███ ██████ ██████ on the █████. The ███████ to ████████ ████ to ███████ ████ ███████ █████ ████ to the ███████ of ██████████. ███████ ████████, ███████ are ████ █████ ██████████, █████ █████ ████ can be █████ to ██████ ████.

██████████

███ $█$ be a ███████████ █████. A ████████ ${\mathcal {F}}$ of ████ on $█$ ████████ of the following ████:

For ████ ████ ███ $U\subseteq X$ , there ██████ a ███ ${\mathcal {F}}(U)$ . This ███ is ████ ███████ $\Gamma (U,{\mathcal {F}})$ . The ████████ in this ███ are ██████ the ████████ of ${\mathcal {F}}$ over $█$ . The ████████ of ${\mathcal {F}}$ over $█$ are ██████ the ██████ ████████ of ${\mathcal {F}}$ .
For ████ █████████ of ████ ████ $V\subseteq U$ , a ████████ $\operatorname {res} _{V}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(V)$ . In ████ of ████ of the ████████ below, the █████████ ${\text{res}}_{V}^{U}$ are ██████ ███████████ █████████. If $s\in {\mathcal {F}}(U)$ , ████ ███ ███████████ ${\text{res}}_{V}^{U}(s)$ is █████ ███████ $s|_{V}$ by ███████ with ███████████ of █████████.

The ███████████ █████████ are ████████ to ███████ ███ ██████████ (██████████) ██████████:

For █████ ████ ███ $█$ of $█$ , the ███████████ ████████ $\operatorname {res} _{U}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(U)$ is the ████████ ████████ on ${\mathcal {F}}(U)$ .
If ██ have █████ ████ ████ $W\subseteq V\subseteq U$ , ████ the █████████ ${\text{res}}_{W}^{V}\circ {\text{res}}_{V}^{U}={\text{res}}_{W}^{U}$ .

██████████, the ██████ █████ ████ it ████ not ██████ ███████ ██ ████████ to $█$ in ███ ████ or ████████ █████ to $█$ , ████ to $█$ . A ███████ ██████████ █████████████ of this ██████████ is █████ ███████ below.

████ ████████ of ██████████ ████ from █████████ ███████ of █████████: to ███ $█$ , ███ can ██████ the ███ $C^{0}(U)$ of ██████████ ████-██████ █████████ on $█$ . The ███████████ ████ are ████ ████ █████ by ███████████ a ██████████ ████████ on $█$ to a ███████ ████ ██████ $V\subseteq U$ , which █████ is a ██████████ ████████. The ███ ████████ ██████ are ███████████ ███████, ███████ ██████ an ███████ of a ████████. This can be ████████ to a ████████ of ███████████ █████████ ${\mathcal {H}}(-)$ and a ████████ of ██████ █████████ $C^{\infty }(-)$ .

███████ ██████ █████ of ████████ is █████████ to $█$ the ███ of ████████ ████-██████ █████████ on $█$ . This ████████ is ██████ the ████████ ████████ ██████████ to $\mathbb {R}$ and is ███████ ${\underline {\mathbb {R} }}^{\text{psh}}$ .

███████

█████ a ████████, a ███████ ████████ to ███ is to ████ ██████ ███ ████████ over an ████ ███ $█$ are █████████ by █████ ████████████ to ████ ███████ of $█$ . A █████ is a ████████ █████ ████████ are, in a █████████ █████, ████████ ██████████ by █████ ████████████.

█████████████, a █████ is a ████████ that █████████ ████ of the following ██████:

(████████) ███████ $█$ is an ████ ███, $\{U_{i}\}_{i\in I}$ is an ████ █████ of $█$ with $U_{i}\subseteq U$ for ███ $i\in I$ , and $s,t\in {\mathcal {F}}(U)$ are ████████. If $s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}$ for ███ $i\in I$ , ████ $s=t$ .
(██████) ███████ $█$ is an ████ ███, $\{U_{i}\}_{i\in I}$ is an ████ █████ of $█$ with $U_{i}\subseteq U$ for ███ $i\in I$ , and $\{s_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})\}_{i\in I}$ is a ██████ of ████████. If ███ █████ of ████████ █████ on the ███████ of █████ ███████, that is, if $s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}$ for ███ $i,j\in I$ , ████ there ██████ a ███████ $s\in {\mathcal {F}}(U)$ ████ that $s|_{U_{i}}=s_{i}$ for ███ $i\in I$ .

In ████ of █████ ██████, the ██████████ on the ████ █████ is ██████████ to the ██████████ that ${\textstyle \bigcup _{i\in I}U_{i}=U}$ .

The ███████ $█$ █████ █████████ is ██████████ by █████ █ is ██████ the ██████, █████████████, or █████████ of the ████████ $s_{i}$ . By █████ █ it is ██████. ████████ $s_{i}$ and $s_{j}$ ██████████ the █████████ ████████████ of █████ █ are █████ ██████ ██████████ ; ████ ██████ █ and █ ████████ █████ that ███ ██████████ of ████████ ██████████ ████████ can be ████████ █████ ████████. A █████████ ████████, or ████████████, is a ████████ ██████████ █████ █.

The ████████ ██████████ of ██████████ █████████ █████████ above is a █████. This █████████ ███████ to ████████ that, █████ ██████████ █████████ $f_{i}:U_{i}\to \mathbb {R}$ which █████ on the █████████████ $U_{i}\cap U_{j}$ , there is a ██████ ██████████ ████████ $f:U\to \mathbb {R}$ █████ ███████████ ██████ the $f_{i}$ . By ████████, the ████████ ████████ is ███████ not a █████ as it █████ to ███████ the ████████ █████ on the █████ ███ (this is █████████ in ████ ██████ at ████████ █████).

██████████ and ███████ are █████████ ███████ by ███████ ███████, $█$ being ████████████ ██████, ██████████ for the ██████ ████ for █████, ████████. Use of ████████████ ███████ ████ as ${\mathcal {F}}$ is ████ ██████.

It can be █████ that to ███████ a █████, it is ██████ to ███████ ███ ███████████ to the ████ ████ of a █████ for the ████████ of the ██████████ █████. ████████, it can ████ be █████ that it is ██████ to ██████ the █████ ██████ above ████████ to the ████ ████ of a ████████. This ███████████ is used to █████████ ███████ ███████ which is ███████ in █████████ ████████, ██████ █████-████████ ███████. ████ the ███████████ █████ in ████████ is the ████████ of a ███████████ ████ $█$ , █████ ██████ are the █████ ██████ ${\mathfrak {p}}$ in $█$ . The ████ ████ $D_{f}:=\{{\mathfrak {p}}\subseteq R,f\notin {\mathfrak {p}}\}$ ████ a █████ for the ███████ ████████ on this █████. █████ an $█$ -██████ $█$ , there is a █████, ███████ by ${\tilde {M}}$ on the $\operatorname {Spec} R$ , that █████████ ${\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],$ █████ $M[1/f]$ is the ████████████ of $█$ at $█$ .

There is ███████ ████████████████ of ███████ that is ██████████ to the ██████████ █████████. A ████████ ${\mathcal {F}}$ is a █████ if and ████ if for ███ ████ $█$ and ███ ████ █████ $\{U_{a}\}$ of $█$ , ${\mathcal {F}}(U)$ is the █████ ███████ ${\mathcal {F}}(U)\cong {\mathcal {F}}(U_{a})\times _{{\mathcal {F}}(U_{a}\cap U_{b})}{\mathcal {F}}(U_{b})$ . This ████████████████ is ██████ in ████████████ of ███████, for ███████, if ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ are ███████ ███████, ████ the ██████ of ███████ ████████ ${\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ is a █████, since ██████████ ██████ ███████ with ██████████ ██████. On the █████ ████, the ████████ is not ██████ a █████ because █████████ ██████ do not ███████████ ███████ with ██████████ ██████. ███ ███ to ███ this is to ████████ ██████████ ███████████ ██████; ███ ████ ████ are ███████ ██ that the ████████ is a █████, since ██████ ██████████ ██████ ███████ with █████████ ██████.

███████ ████████

█████ of ████████ of a ██████████ ███

███ ██████████ ███ $f:Y\to X$ of ███████████ ██████ ██████████ a █████ $\Gamma (Y/X)$ on $█$ by ███████

$\Gamma (Y/X)(U)=\{s:U\to Y,f\circ s=\operatorname {id} _{U}\}.$

███ ████ $█$ is ████████ ██████ a ███████ of $█$ , and this ███████ is the ██████ ███ the ████████ in ${\mathcal {F}}(U)$ are █████████ ██████ ████████. This ████████████ is ██████████ █████████ ████ $█$ is the ██████████ of a █████ ██████ onto ███ ████ █████. For ███████, the ███████ of ██████ █████████ are the ███████ of ████████ of the ███████ ██████.

███████ ███████: the █████ of ████████ of

$\mathbb {C} {\stackrel {\exp }{\longrightarrow }}\mathbb {C} \setminus \{0\}$

is the █████ which ███████ to ███ $U\subseteq \mathbb {C} \setminus \{0\}$ the ███ of ████████ of the ███████ █████████ on $█$ .

█████ a █████ $█$ and an ███████ █████ $█$ , the ██████████ █████ $S_{x}$ is ███████ as ███████: if $█$ is an ████ ███ ██████████ $█$ , ████ $S_{x}(U)=S$ . If $█$ ████ not ███████ $█$ , ████ $S_{x}(U)=0$ , the ███████ █████. The ███████████ ████ are ██████ the ████████ on $█$ , if ████ ████ ████ ███████ $█$ , or the ████ ███ █████████.

███████ on █████████

On an $█$ -███████████ $C^{k}$ -████████ $█$ , there are a ██████ of █████████ ███████, ████ as the █████ of $█$ -█████ ████████████ ██████████████ █████████ ${\mathcal {O}}_{M}^{j}$ (with $j\leq k$ ). ███ ████████ on some ████ $█$ are the $C^{j}$ -█████████ $U\to \mathbb {R}$ . For $j=k$ , this █████ is ██████ the █████████ █████ and is ███████ ${\mathcal {O}}_{M}$ . The ███████ $C^{k}$ █████████ ████ ████ a █████, ███████ ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ . ████████████ █████ (of ██████ $█$ ) ████ ████ a █████ $\Omega _{M}^{p}$ . In ███ █████ ████████, the ███████████ █████████ are █████ by ███████████ █████████ or █████.

The ██████████ ███████ $█$ to the █████████ █████████ █████████ on $█$ is not a █████, since there is, in ███████, ██ ███ to ████████ this ████████ by ███████ to a ███████ ████ ██████. ███████, this █████ a ███████, a ████ ███████ █████ the ███████████ ████ ██ in the opposite █████████ than with ███████. ███████, ██████ the ████ of █████ ██████ ██████ ████ ████ a █████, the █████ of █████████████.

██████████ that are not ███████

In ████████ to the ████████ ████████ █████████ above, which is ███████ not a █████, there are ███████ ████████ of ██████████ that are not ███████:

███ $█$ be the ███-█████ ███████████ █████ $\{x,y\}$ with the ████████ ████████. ██████ a ████████ $█$ as ███████: $F(\varnothing )=\{\varnothing \},\ F(\{x\})=\mathbb {R} ,\ F(\{y\})=\mathbb {R} ,\ F(\{x,y\})=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ The ███████████ ███ $F(\{x,y\})\to F(\{x\})$ is the ██████████ of $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ onto ███ █████ ██████████, and the ███████████ ███ $F(\{x,y\})\to F(\{y\})$ is the ██████████ of $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ onto ███ ██████ ██████████. $█$ is a ████████ that is not █████████: a ██████ ███████ is ██████████ by █████ ███████, but the ██████ of that ███████ over $\{x\}$ and $\{y\}$ █████████ ████ ███ of █████ ███████. ██ █████ ██ can ████ ███ ███ ████████ over $\{x\}$ and $\{y\}$ , ██ ██████ ████ ████ ████████.
███ $X=\mathbb {R}$ be the ████ ████, and ███ $F(U)$ be the ███ of ███████ ██████████ █████████ on $█$ . This is not a █████ because it is not ██████ ████████ to ████. For ███████, ███ $U_{i}$ be the ███ of ███ $█$ ████ that $|x|<i$ . The ████████ ████████ $f(x)=x$ is ███████ on ████ $U_{i}$ . ████████████, ██ ███ a ███████ $s_{i}$ on $U_{i}$ . ███████, █████ ████████ do not ████, because the ████████ $█$ is not ███████ on the ████ ████. ████████████ $█$ is a ████████, but not a █████. In ████, $█$ is █████████ because it is a ███-████████ of the █████ of ██████████ █████████.

██████████ ███████ from ███████ ████████ ██████ and █████████ ████████

███ of the ██████████ ███████████ for ███████ have ████ from ████████ ███████ █████████, ███████ ████████ ████████, and ██████ ██████ from █████████ ████████. This is because in ███ of the ████████ █████, ██ ████████ a ███████████ █████ $█$ ████████ with a █████████ █████ ${\mathcal {O}}$ ██████ it the █████████ of a ███████ ████████, ███████ ████████ █████, or ██████. This ███████████ of █████████ a ███████████ █████ with a █████ is █████████ to the ██████ of ███████ ██████ ██████ (███ below).

█████████ ██████████ with ███████ █████████

███ of the ████ ██████████ ███████████ for ███████████ ███████ was ████████████ a ██████ which █████ █████ of ███████████ █████████ on ███████ █████████. For ███████, on a ███████ ███████ ████████ $█$ (like ███████ ██████████ █████ or the █████████ █████ in ██████████ █████ of a ███████████ ██████████), the ████ ███████████ █████████

$f:X\to \mathbb {C}$

are the ████████ █████████. This █████ there █████ ███ ███████ ███████ █████████ $█, █^{'}$ which are not ██████████, but ████████████ █████ █████ of ██████ ███████████ █████████, ███████ ${\mathcal {H}}(X),{\mathcal {H}}(X')$ , are ██████████. ████████ this with ██████ █████████ █████ █████ ████████ $█$ can be ████████ inside some $\mathbb {R} ^{n}$ , █████ ███ ████ of ██████ █████████ $C^{\infty }(M)$ █████ from ███████████ the ██████ █████████ from $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ , of which there █████ ██████.

███████ ██████████ ████ considering the ████ of ███████████ █████████ on a ███████ ████████ $█$ is █████ a █████ ██████ ████ ███ $U\subseteq X$ , the ███████████ █████████ will be ██████████ to ${\mathcal {H}}(U)\cong {\mathcal {H}}(\mathbb {C} ^{n})$ . ███████ are a ██████ ████ for ███████ with this ██████████ since they ████ it ████████ to ████ █████ of the ███████████ █████████ on the ██████████ ███████████ █████ of $█$ on █████████ ████ ███████ $U\subseteq X$ . This █████ as $█$ ███████ ████ ███████ █████████████, the ████ ${\mathcal {H}}(U)$ can be █████████ from ██████ the ${\mathcal {H}}(U_{i})$ . ████ that █████████ this █████ is ███████ ${\mathcal {O}}(-)$ or ████ ${\mathcal {O}}$ , or ████ ${\mathcal {O}}_{X}$ ████ ██ ████ to █████████ the █████ the █████████ █████ is ██████████ to.

████████ ████████████ with ███████

███████ ██████ ███████ of ███████ can be ███████████ by considering a ███████ ███████████ $Y\hookrightarrow X$ . There is an ██████████ █████ ${\mathcal {O}}_{Y}$ which █████ an ████ ██████ $U\subseteq X$ and █████ the ████ of ███████████ █████████ on $U\cap Y$ . This ████ of █████████ was █████ to be █████████ ████████ and █████████ a ███ of ███████████ ███████ ████ as █████ ██████████ since an ████████████ ██████ can be █████ using █████ █████ of ███████ from the █████ ████████████ ███████.

██████████ with ███████

█████████

█████████ of ███████ are, ███████ ████████, █████████ to █████████ between ████. In ████████ to a ████████ between ████, which is ██████ an ██████████ of ███████ to ██████, █████████ of ███████ are ████ ████████ to be ██████████ with the █████–██████ ██████████ of the ██████████ ███████. This ████ is ████ ███████ in the following ██████████.

███ ${\mathcal {F}}$ and ${\mathcal {G}}$ be ███ ███████ of ████ (████████████ ███████ ██████, █████, ███.) on $█$ . A ████████ $\varphi :{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ :{\███████ {█}}\to {\███████ {█}}} ████████ of a ████████ $\varphi _{U}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)$ of ████ (████████████ ███████ ██████, █████, ███.) for ████ ████ ███ $█$ of $█$ , ███████ to the █████████ that this ████████ is ██████████ with ████████████. In █████ █████, for █████ ████ ██████ $█$ of an ████ ███ $█$ , the following ███████ is ███████████.

${\begin{array}{rcl}{\mathcal {F}}(U)&\xrightarrow {\quad \varphi _{U}\quad } &{\mathcal {G}}(U)\\r_{V}^{U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }{r'}_{V}^{U}\\{\mathcal {F}}(V)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{V}\quad }]{}}&{\mathcal {G}}(V)\end{array}}$

For ███████, ██████ the ██████████ █████ a ████████ of ███████ on $\mathbb {R}$ ,

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n-1}.$

██████, █████ an ( $█$ -█████ ████████████ ██████████████) ████████ $f:U\to \mathbb {R}$ (with $█$ in $\mathbb {R}$ ████), the ███████████ (to a ███████ ████ ██████ $█$ ) of ███ ██████████ ██████ the ██████████ of $f|_{V}$ .

With this ██████ of ████████, ███████ of ████ (████████████ ███████ ██████, █████, ███.) on a █████ ███████████ █████ $█$ ████ a ████████. The ███████ ███████████ ███████ of ████-, ███- and ████████████ can █████████ be ███████ to ███████.

In ████, from the █████ of ████ of ████████ ██████, the ████████ of ███████ over a (█████) ████████ $█$ with ██████ in ███████ ████████ $█$ is a ████ ███████████ of the ████████ of ██████████ over $█$ with ██████ in $█$ , which is ██████ the ████████ $D^{C^{\text{op}}}$ of █████████████ ████████ from $█$ to $█$ with ███████ ███████████████ between ████ as █████████: the ██████ of ████████ ███████ above can ██████ be ██████ as $\varphi$ being a ███████ ██████████████ between the ███ ███████ ████ as ████████.

A ████████ $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ of ███████ on $█$ is an ███████████ (████████████ ████████████) if and ████ if for █████ ████ ███ $U\subseteq X$ , ██ have an ███████████ ${\mathcal {F}}(U)\approx {\mathcal {G}}(U)$ which is ███████ with ███████ to the ███████████ ████. █████ ██████████ ████ ████████ of ███ to ████ with ███████ using █████ ███████████, but it's █████████ to ████ that ██ ██████ █████ if a ████████ of ███████ is an ███████████ in the ████ ██████. ██████ the █████████ that ████ on the █████ of ████ ████ $\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {G}}(U)$ are not ██████ ██████████ for ████████████ of ███████ is ██████████ to ███-█████████ of the ██████ ████████ ███████—or ████████████, to ███-██████████ of █████ ██████████.

██████ of a █████

The █████ ${\mathcal {F}}_{x}$ of a █████ ${\mathcal {F}}$ ████████ the ██████████ of a █████ "around" a █████ $x\in X$ , ████████████ the █████ of █████████. ████, "around" █████ that, ████████████ ████████, ███ █████ at ███████ and ███████ █████████████ of the █████. Of ██████, ██ ██████ ████████████ will be █████ ██████, which ████████ considering a █████ of some ████. ████ █████████, the █████ is ███████ by

${\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U),$

the ██████ █████ being over ███ ████ ███████ of $█$ ██████████ the █████ █████ $█$ . In █████ █████, an ███████ of the █████ is █████ by a ███████ over some ████ ████████████ of $█$ , and ███ ████ ████████ are ██████████ ██████████ if █████ ████████████ █████ on a ███████ ████████████.

The ███████ ████████ ${\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}_{x}$ █████ a ███████ $█$ in ${\mathcal {F}}(U)$ to ███ ████ $s_{x}$ at $█$ . This ███████████ the █████ ██████████ of a ████.

In ████ ██████████, ███████ the ██████ of a █████ is ██████ to ███████ the █████ ██████. For ███████, ███████ or not a ████████ of ███████ is a ████████████, ███████████, or ███████████ can be ██████ on the ██████. In this █████, a █████ is ██████████ by ███ ██████, which are a █████ ████. By ████████, the ██████ ███████████ ███████ in a █████, █.█., the ██████ ████████, █.█., the ████████ ${\mathcal {F}}(X)$ on the █████ █████ $█$ , █████████ █████ ████ ███████████. For ███████, for a ███████ ███████ ████████ $█$ , the ██████ ████████ of the █████ of ███████████ █████████ are ████ $\mathbb {C}$ , since ███ ███████████ ████████ $X\to \mathbb {C}$ is ████████ by █████████'s ███████.

███████ a ████████ into a █████

It is ██████████ ██████ to ████ the ████ █████████ in a ████████ and to ███████ it as a █████. It █████ out that there is a ████ ████████ ███ to do this. It █████ a ████████ ${\mathcal {F}}$ and ████████ a ███ █████ $a{\mathcal {F}}$ ██████ the ██████████████ or █████ ██████████ to the ████████ ${\mathcal {F}}$ . For ███████, the ██████████████ of the ████████ ████████ (███ above) is ██████ the ████████ █████. Despite ███ ████, ███ ████████ are ███████ ████████ █████████.

The █████ $a{\mathcal {F}}$ can be ███████████ using the █████ █████ $█$ of ${\mathcal {F}}$ , ██████ as the █████ of ████████ of the ███

$E\to X.$

███████ ████████████ of the █████ $a{\mathcal {F}}$ ████████ by █████ of a ███████ $█$ from ██████████ to ██████████ that █████████ ████████ the ██████████ of a ████████: for ███ ████████ ${\mathcal {F}}$ , $L{\mathcal {F}}$ is a █████████ ████████, and for ███ █████████ ████████ ${\mathcal {F}}$ , $L{\mathcal {F}}$ is a █████. The ██████████ █████ $a{\mathcal {F}}$ is █████ by $LL{\mathcal {F}}$ .

The ████ that the █████ $a{\mathcal {F}}$ is the ████ ████████ █████████████ to ${\mathcal {F}}$ by a █████ is ████ ███████ using the following █████████ ████████: there is a ███████ ████████ of ██████████ $i\colon {\mathcal {F}}\to a{\mathcal {F}}$ ██ that for ███ █████ ${\mathcal {G}}$ and ███ ████████ of ██████████ $f\colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ , there is a ██████ ████████ of ███████ ${\tilde {f}}\colon a{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ████ that $f={\tilde {f}}i$ . In ████, $a$ is the ████ ███████ ███████ to the █████████ ███████ (or █████████ ███████) from the ████████ of ███████ to the ████████ of ██████████, and $█$ is the ████ of the ██████████. In this ███, the ████████ of ███████ █████ into a ██████ ███████████ of ██████████. This ███████████ █████████ is the ██████ ███ the ██████████████ ███████ ███████ in ████████████ █████████ of █████ █████████ or ██████ ████████ of ███████, but not for ███████, ███.

██████████, ████████ ███████

If $█$ is a ████████ of a █████ $█$ of ███████ ██████, ████ the ████████ █████ $█$ is the █████ ██████████ to the ████████ $U\mapsto F(U)/K(U)$ ; in █████ █████, the ████████ █████ ████ into an █████ ████████ of ███████ of ███████ ██████;

$0\to K\to F\to Q\to 0.$

(this is ████ ██████ a █████ █████████.)

███ $█, █$ be ███████ of ███████ ██████. The ███ $\operatorname {Hom} (F,G)$ of █████████ of ███████ from $█$ to $█$ █████ an ███████ █████ (by the ███████ █████ █████████ of $█$ ). The █████ ███ of $█$ and $█$ , ███████ by,

${\mathcal {Hom}}(F,G)$

is the █████ of ███████ ██████ $U\mapsto \operatorname {Hom} (F|_{U},G|_{U})$ █████ $F|_{U}$ is the █████ on $█$ █████ by $(F|_{U})(V)=F(V)$ (████ ██████████████ is not ██████ ████). The ██████ ███ of $█$ and $█$ is the █████ █████ by $U\mapsto F(U)\oplus G(U)$ , and the ██████ ███████ of $█$ and $█$ is the █████ ██████████ to the ████████ $U\mapsto F(U)\otimes G(U)$ .

███ of █████ ██████████ ██████ to ███████ of ███████ over a █████ of █████ $A$ ; the above is the ███████ ████ ████ $A$ is the ████████ █████ ${\underline {\mathbf {Z} }}$ .

█████ █████████████

Since the ████ of a (███-)█████ ███████ on the ████ ███████ of the ████ █████, ███████ on █████████ ███████████ ██████ are █████████ to ████ █████ in the █████ that there are ██ █████████ between ████. ███████, █████ a ██████████ ███ $f:X\to Y$ between ███ ███████████ ██████, ███████████ and ████████ ██████ ███████ on $█$ to █████ on $█$ and ████ █████.

██████ █████

The ███████████ (████ █████ as ██████ █████) of a █████ ${\mathcal {F}}$ on $█$ is the █████ ███████ by

$(f_{*}{\mathcal {F}})(V)={\mathcal {F}}(f^{-1}(V)).$

████ $█$ is an ████ ██████ of $█$ , ██ that ███ ████████ is ████ in $█$ by the ██████████ of $█$ . This ████████████ ████████ the ██████████ █████ $S_{x}$ █████████ above:

$S_{x}=i_{*}(S)$

█████ $i:\{x\}\to X$ is the █████████, and $█$ is ████████ as a █████ on the █████████ by $S(\{*\})=S,S(\emptyset )=\emptyset$ .

For a ███ between ███████ ███████ ██████, the ██████ █████ with ███████ ███████ is a ████████ of the ██████ █████. By ██████████, $(f_{!}{\mathcal {F}})(V)$ ████████ of █████ $s\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))$ █████ ███████ is ██████ ████████. If $█$ is ██████ ██████, ████ $f_{!}{\mathcal {F}}=f_{*}{\mathcal {F}}$ , but in ███████ they ████████.

███████ █████

The ████████ or ███████ █████ ████ the █████ ███: it ████████ a █████ on $█$ , ███████ $f^{-1}{\mathcal {G}}$ out of a █████ ${\mathcal {G}}$ on $█$ . If $█$ is the █████████ of an ████ ██████, ████ the ███████ █████ is ████ a ███████████, █.█., it is █████ by $(f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)$ for an ████ $█$ in $█$ . A █████ ${\mathcal {F}}$ (on some █████ $█$ ) is ██████ ███████ ████████ if $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ by some ████ ███████ $U_{i}$ ████ that the ███████████ of ${\mathcal {F}}$ to ███ █████ ████ ███████ is ████████. On a ████ █████ of ███████████ ██████ $█$ , ████ ███████ are ██████████ to ███████████████ of the ███████████ █████ $\pi _{1}(X)$ .

For ███████ ████ $█$ , the ██████████ of $f^{-1}{\mathcal {G}}$ is ████ ████████; it is ████████ at ███████ █████ ███████. The █████ is an █████████ ███████ ████ of the ████████ in ████ of a ███████ ██████████████, █████ $█$ is as above:

${\mathcal {G}}_{x}=i^{-1}{\mathcal {G}}(\{x\}).$

████ █████████, ██████ ███████ $(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}$ .

█████████ by ████

For the █████████ $j:U\to X$ of an ████ ██████, the █████████ by ████ $j_{!}{\mathcal {F}}$ (██████████ "█ █████ ██████ of █") of a █████ ${\mathcal {F}}$ of ███████ ██████ on $█$ is the ██████████████ of the ████████ ███████ by

$V\mapsto {\begin{cases}{\mathcal {F}}(V)&{\textrm {if}}\ V\subseteq U\\0&{\textrm {otherwise.}}\end{cases}}$

For a █████ ${\mathcal {G}}$ on $█$ , this ████████████ is in a █████ █████████████ to $i_{*}$ , █████ $i:X\setminus U\to X$ is the █████████ of the ██████████ of $█$ :

(j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}

for

█

█

, and the █████ is ████ █████████, █████

(i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0

for

█

█

, and ██████

{\mathcal {G}}_{x}

█████████.

████ █████████, if $A\subset X$ is a ███████ ██████ ██████, ████ there ██████ an ████ $█$ of $█$ ██████████ $A$ ████ that $A$ is ██████ in $█$ . ███ $f:A\to U$ and $j:U\to X$ be the ███████ ██████████. ████ the █████████ by ████ of a █████ ${\mathcal {F}}$ on $A$ is ███████ by $j_{!}f_{*}F$ .

███ to ███ ████ ████████ on ██████, the █████████ by ████ ███████ is ██████ for ████████ █████-█████████ █████████ on $█$ to ████ on the ██████ of a ██████████████, █.█., a █████████████ of $█$ into ███████, ███████ ██████ ███████.

███████████

███████ in ████ ███████ ██████████

In ████████ to (███-)███████ as ██████████ above, █████ ${\mathcal {F}}(U)$ is ██████ a ███, it is in ████ █████ █████████ to ████ █████ of ██████████ █████████ on █████ ████████. For ███████, the ████████ of the █████ of ██████████ █████████ █████████ ████ a ████ ██████ █████, and ███████████ is a ██████ ███ between █████ ██████ ██████.

██████████ with ██████ in an █████████ ████████ $█$ are ███████ by █████ considering the ████████ of ████ ████ on $█$ to be the ███████ ████████ $O(X)$ █████ ███████ are the ████ ████ of $█$ and █████ █████████ are ██████████. ████ a $█$ -██████ ████████ on $█$ is the ████ as a █████████████ ███████ from $O(X)$ to $█$ . █████████ in this ████████ of ████████, ████ █████ as ███████ ███████████████, are the ████ as the █████████ ███████ above, as can be ████ by ██████████ the ███████████.

If the ██████ ████████ $█$ ██████ ███ ██████, a $█$ -██████ ████████ is a █████ if the following ███████ is an █████████ for █████ ████ █████ ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ of ███ ████ ███ $█$ :

$F(U)\rightarrow \prod _{i}F(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).$

████ the █████ ███ is the ███████ of the ███████████ ████

$\operatorname {res} _{U_{i},U}\colon F(U)\rightarrow F(U_{i})$

and the ████ of ██████ the ████████ of the ███ ████ of ████████████

$\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}\colon F(U_{i})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j})$

and

$\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}\colon F(U_{j})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j}).$

If $█$ is an ███████ ████████, this █████████ can ████ be █████████ by █████████ that there is an █████ ████████

$0\to F(U)\to \prod _{i}F(U_{i})\xrightarrow {\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}-\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}} \prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).$

A ██████████ ████ of this █████ █████████ ██████ for $█$ being the █████ ███, and the █████ ███ $█$ ████ being █████. In this ████, the █████ █████████ ████████ ${\mathcal {F}}(\emptyset )$ to be the ████████ ██████ in $█$ .

██████ ██████ and ███████ of ███████

In ███████ ███████████ ███████████, █████████ █████████ ████████ and ████████████ ████████, the ██████ ████ along with a ███████ █████ of █████, █████ ██████ the █████████ █████ and ███████ by ${\mathcal {O}}_{X}$ . ████ a ████ $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ is ██████ a ██████ █████. ████ █████ of ██████ can be ███████ as ███████ █████ of ██████ ██████. ████████, ███ the ██████ ${\mathcal {O}}_{X,x}$ of the █████████ █████ are █████ █████, in which ████ the ████ is ██████ a ███████ ██████ █████.

For ███████, an $█$ -███████████ $C^{k}$ ████████ $█$ is a ███████ ██████ █████ █████ █████████ █████ ████████ of $C^{k}$ -█████████ on the ████ ███████ of $█$ . The ████████ of being a ███████ ██████ █████ ██████████ into the ████ that ████ a ████████, which is ███████ at a █████ $█$ , is ████ ███-████ on a ████████████ █████ ████ ████████████ of $█$ . Some ███████ ████████ ██████ ████ (or ███████) █████████ to be ███████ ██████ ██████ that are ███████ ██████████ to the ████ ██████████ of an ████ ██████ of $\mathbb {R} ^{n}$ (████████████ $\mathbb {C} ^{n}$ ) ████████ with the █████ of $C^{k}$ (████████████ ███████████) █████████. █████████, ███████, the ████████████ ██████ of ██████ in █████████ ████████, are ███████ ██████ ██████ that are ███████ ██████████ to the ████████ of a ████.

█████ a ██████ █████, a █████ of ███████ is a █████ ${\mathcal {M}}$ ████ that on █████ ████ ███ $█$ of $█$ , ${\mathcal {M}}(U)$ is an ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ -██████ and for █████ █████████ of ████ ████ $V\subseteq U$ , the ███████████ ███ ${\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)$ is ██████████ with the ███████████ ███ ${\mathcal {O}}(U)\to {\mathcal {O}}(V)$ : the ███████████ of $█ █$ is the ███████████ of $█$ █████ that of $█$ for ███ $█$ in ${\mathcal {O}}(U)$ and $█$ in ${\mathcal {M}}(U)$ .

████ █████████ █████████ ███████ are ███████ of ███████. For ███████, there is a ███-to-███ ██████████████ between ██████ ███████ and ███████ ████ ███████ of ${\mathcal {O}}_{X}$ -███████. This ████████ ███████ to ████ ██████ ███████, ███████ ██████ ███████, or ██████ ███████ in █████████ ████████ (█████ ${\mathcal {O}}$ ████████ of ██████ █████████, ███████████ █████████, or ███████ █████████, ████████████). ███████ of █████████ to ████████████ █████████ are $█$ -███████, that is, ███████ over the █████ of ████████████ █████████. On ███ ███████████ █████, ███████ over the ████████ █████ ${\underline {\mathbf {Z} }}$ are the ████ as ███████ of ███████ ██████ in the █████ above.

There is a █████████ ███████ █████ ███████ for ███████ of ███████ over ███████ of █████. This ███████ is ███████ ███████ $f^{*}$ and it is ████████ from $f^{-1}$ . ███ ███████ █████ ███████.

██████████ ██████████ for ███████ of ███████

██████████ ██████████ for ██████ over ███████████ █████ ████ ████ to ███████ ██████████ ██████████ for ███████ of ███████: ${\mathcal {M}}$ is ██████ ████████ █████████ (████████████ ████████ █████████) if, for █████ █████ $█$ of $█$ , there ██████ an ████ ████████████ $█$ of $█$ , a ███████ ██████ $█$ (████████ █████████ on $█$ ), and a ██████████ ████████ of ███████ ${\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}$ (████████████, in ████████ a ███████ ██████ $█$ , and an █████ ████████ ${\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}\to 0$ .) ███████████ the ██████ of a ████████ ██████, ${\mathcal {M}}$ is ██████ a ████████ █████ if it is of ██████ ████ and if, for █████ ████ ███ $█$ and █████ ████████ of ███████ $\phi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}\to {\mathcal {M}}$ :{\███████ {█}}█{█}^{█}\to {\███████ {█}}} (not ███████████ ██████████), the ██████ of $\phi$ is of ██████ ████. ${\mathcal {O}}_{X}$ is ████████ if it is ████████ as a ██████ over ██████. Like for ███████, █████████ is in ███████ a ████████ ████████ █████████ than ██████ ████████████. The ███ █████████ ███████ ██████ that the █████ of ███████████ █████████ on a ███████ ████████ is ████████.

The █████ █████ of a █████

In the ████████ above it was █████ that some ███████ █████ █████████ as ███████ of ████████. In ████, ███ ███████ of ████ can be ███████████ as ███████ of ████████ of a ███████████ █████ ██████ the █████ █████, from the ██████ ████ ██████ █████████████: , ███████ ███████ "██████ out". If $F\in {\text{Sh}}(X)$ is a █████ over $█$ , ████ the █████ █████ (█████████ ██████ the █████ █████) of $█$ is a ███████████ █████ $█$ ████████ with a █████ █████████████ $\pi :E\to X$ ████ that the █████ of ████████ $\Gamma (\pi ,-)$ of $\pi$ is $█$ . The █████ $█$ is ███████ ████ ███████, and ████ if the █████ $█$ ██████ from a ███████ ███████████ █████████, $█$ ███ not have ███ █████ ███████████ ██████████████. For ███████, if $█$ is the █████ of ████████ of a ██████████ ████████ $f:Y\to X$ , ████ $E=Y$ if and ████ if $█$ is a █████ █████████████.

The █████ █████ $█$ is ███████████ from the ██████ of $█$ over $█$ . As a ███, it is █████ ████████ █████ and $\pi$ is the ███████ ███ that █████ the █████ $█$ on the █████ of $█$ over $x\in X$ . The ████████ of $█$ is ███████ as ███████. For ████ ███████ $s\in F(U)$ and ████ $x\in U$ , ██ ███ a ████ of $█$ at $█$ , ███████ $[s]_{x}$ or $s_{x}$ . █████ █████ █████████ ██████ of $█$ . For ███ $█$ and $s\in F(U)$ , the █████ of █████ ██████ (for ███ $x\in U$ ) is ████████ to be ████ in $█$ . ██████ that ████ █████ has the ████████ ████████ as ████████ ████████. A ████████ between ███ ███████ █████████ a ██████████ ███ of the █████████████ █████ ██████ that is ██████████ with the ██████████ ████ (in the █████ that █████ ████ is ██████ to a ████ over the ████ █████). This █████ the ████████████ into a ███████.

The ████████████ above ██████████ an ███████████ of ██████████ between the ████████ of ███████ of ████ on $█$ and the ████████ of █████ ██████ over $█$ . The ████████████ of an █████ █████ can ████ be ███████ to a ████████, in which ████ the █████ of ████████ of the █████ █████ ████████ the █████ ██████████ to the █████ ████████.

This ████████████ █████ ███ ███████ into █████████████ ████████ on ███████ ██████████ of ███████████ ██████. As above, ███ $█$ be a █████ on $█$ , ███ $█$ be ███ █████ █████, and ███ $\pi :E\to X$ be the ███████ ██████████. ████████ the ████████████ ${\text{Top}}/X$ of ███████████ ██████ over $█$ , that is, the ████████ of ███████████ ██████ ████████ with █████ ██████████ ████ to $█$ . █████ ██████ of this ████████ is a ██████████ ███ $f:Y\to X$ , and a ████████ from $Y\to X$ to $Z\to X$ is a ██████████ ███ $Y\to Z$ that ████████ with the ███ ████ to $█$ . There is a ███████

█ : ███ / █ → ████ :{\████{███}}/█\to {\████{████}}}

███████ an ██████ $f:Y\to X$ to $f^{-1}F(Y)$ . For ███████, if $i:U\hookrightarrow X$ is the █████████ of an ████ ██████, ████

█ ( █ ) = █ − █ █ ( █ ) = █ ( █ ) = █ ( █ , █ )

and for the █████████ of a █████ $i:\{x\}\hookrightarrow X$ , ████

█ ( █ ) = █ − █ █ ( { █ } ) = █ | █

is the █████ of $█$ at $█$ . There is a ███████ ███████████

( █ − █ █ ) ( █ ) ≅ ███ █ █ █ / █ ⁡ ( █ , █ ) ,

which █████ that $\pi :E\to X$ (for the █████ █████) ██████████ the ███████ $\Gamma$ .

$█$ is ███████████ ██ that the ██████████ ███ $\pi$ is a ████████ ███. In █████████ ████████, the ███████ ██████ of a ████████ ███ is ██████ an █████ ████████. Despite ███ ██████████ to "█████", the ████ █████ has a █████████ ███████ in ██████. It is ████████ to ████ $█$ into a ██████ and $\pi$ into a ████████ of ███████ in ████ a ███ that $\pi$ ███████ the ████ █████████ ████████, but $\pi$ is not in ███████ an █████ ████████ because it is not █████-██████. It is, ███████, ████████ █████.

The ██████████ of ███████ by █████ ██████ is █████ than the ██████████ █████ ███████ in the ███████. It is █████ ██████ in some █████ of ███████████ ████ as ████████████ ████████.

█████ ██████████

In ████████ █████ the ████ ███ $█$ is █████, and the █████ is ████████ as a ████████, the ███ $F(U)$ is ████ █████ ███████ $\Gamma (U,F).$

As was █████ above, this ███████ ████ not ████████ ████████████. ███████, an ███████████ of ███████ ${\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ is a ███ with the following ████████: for ███ ███████ $g\in {\mathcal {G}}(U)$ there is a ████████ ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ █████

█ = ⋃ █ ∈ █ █ █

of ████ ███████, ████ that the ███████████ $g|_{U_{i}}$ are in the █████ of ${\mathcal {F}}(U_{i})$ . ███████, $█$ ██████ ████ not be in the █████ of ${\mathcal {F}}(U)$ . A ████████ ███████ of this ██████████ is the ███████████ ███

${\mathcal {O}}{\stackrel {\exp }{\to }}{\mathcal {O}}^{\times }$ between the █████ of ███████████ █████████ and ███-████ ███████████ █████████. This ███ is an ███████████, which ███████ to ██████ that ███ ███-████ ███████████ ████████ $█$ (on some ████ ██████ in $\mathbb {C}$ , ███), ██████ a ███████ █████████ ███████, █.█., after ███████████ $█$ to ███████████ ████ ███████. ███████, $█$ ████ not have a █████████ ████████.

█████ ██████████ ████████ this ██████████. ████ █████████, for an █████ ████████ of ███████ of ███████ ██████ $0\to {\mathcal {F}}_{1}\to {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}\to 0,$ (█.█., an ███████████ ${\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}$ █████ ██████ is ${\mathcal {F}}_{1}$ ), there is a ████ █████ ████████ $0\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{1})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{2})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{2})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{2}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to \dots$ By █████ of this ████████, the █████ ██████████ █████ $H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})$ is a ███████ for the ███-████████████ of the ███ between ████████ of ${\mathcal {F}}_{2}$ and ${\mathcal {F}}_{3}$ .