█████ (███████████ ██████████)

En ███████████, un ███ (██████: █████) es una ███████████ para ████████ ████████████████ █████ (como █████████, ██████ █████████, ███████) ████████ a los █████████ ████████ de un ███████ ██████████ █ █████████ ██████████ con ████████ a ellos. Por ███████, para ████ ████████ ███████, los █████ ███████ ser el ██████ de █████████ █████████ █████████ en ese ████████ ███████. █████ █████ se █████████ ████ en el ███████ de que ██████ ████████████ a █████████ ████████ ███ ████████, █ ███████ los █████ █████████ a un ████████ ███████ son ████████████ a █████ las ███████████ de █████ ███████████ █████████ a ███████████ de █████████ ████████ ███ ████████ que ██████ el ████████ ███████ ████████ (██████████████, ████ ████ es la ████ de sus █████ ██████████████).

El █████ de las ███████████ que ███████ los █████ se ████████ ██████ de █████.

Los █████ se █████████ ███████████████ como ███████ █████████ █ ██████████. Su ██████████ ████████ es ███ ████ ███████. Se ███████ ███████████████ como █████ de █████████ o como █████ de ███████, por ███████, ███████████ del ████ de █████ █████████ a los █████████ ████████.

███████ ███ █████ (o █████████) de un ███ a otro; los █████ (de un ████ ██████████, como los █████ de ██████ █████████) con sus █████████ en un ███████ ██████████ ████ ██████ una █████████. Por otra █████, a ████ ████ ████████ se ██████ █████ un ██████ de ██████ ███████, que █████ los █████ █ sus █████████ sobre el ███████ a █████ █ █████████ sobre el █████████, como un ██████ de ██████ ███████ que █████ en ███████ █████████. Estos ████████, █ ███████ █████████ de ellos, son ██████ ██████████ de la ██████ de █████.

██████ a su ██████████ ███████ █ ████████████, los █████ ██████ ██████ ████████████ en █████████ █ █████████████ en █████████ ██████████ █ █████████ ███████████. En ██████ █████, ███████████ ███████████ como la de un ████████ █████████████ o un ███████ ██████ ██████████ en ████████ de un ████ de ███████ sobre el ███████. En █████ █████████, ██████ ██████████████ ███████████ como █████ ███████████ o █████████ se ███████████ ████████████ en ████████ de █████. En ███████ █████, los █████ ████████████ el █████ para una ██████ ████████████ ███ ███████, que ██████ ███████ las ███████ █████████████ ███████████ "███████" como la ███████████ ████████. █████████████ en █████████ ██████████ █ en la ██████ de █████████ █████████, la ███████████ de █████ ███████████ un ████████ ███████ entre las ███████████ ███████████ █ ███████████ de los ████████. Las ███████ ███████ ███████████ la ████ de la ██████ de los █-███████, que ██████ ████████████ en la ██████ de las ██████████ █████████████. ██████, las ████████████████ de las ███████ a ████████ ███ █████████ que los ████████ ███████████, como la █████████ de ████████████, han █████████████ ████████████ a la ██████ ██████████ █ a la ██████ de ███████.

████████████ █ ████████

En ██████ █████ ███████████, ██████ ███████████ █████████ sobre un ███████ ██████████ $█$ (por ███████, un ████████ █████████████) ██████ ser ████████████ ███████████ o ████████████ a ████████████ ████████ $U\subset X$ : ████████ ███████ ████████ █████████ █████████ de ███████ ██████ o de ███████ █████████, █████████████ (████ o ████████) $█$ -█████, █████████ ██████ ████████, ██████ ███████████ █ █████████ de █████████ ███ █████████ en el ███████. La █████████ de ██████████ los █████ a ████████████ ████████ ███ ████████ ██ █████ al ████████ de █████████. ████████ en ████████ █████████, los ████████████ son ████████ esos ██████████, donde los █████ ███████ se ██████ █████ a los █████ ████████.

████████

███ $█$ un ███████ ██████████. Un ██████ de █████████ $█$ en $█$ ████████ de los ██████████ █████:

Para ████ ████████ ███████ $█$ de $█$ , un ████████ $F(U)$ . Este ████████ se ██████ como $\Gamma (U,F)$ . Los █████████ de este ████████ se █████████ las █████████ de $█$ sobre $█$ . Las █████████ de $█$ sobre $█$ se █████████ las █████████ ████████ de $█$ .
Para ████ █████████ de █████████ ████████ $V\subseteq U$ , una ███████ $\operatorname {res} _{V,U}\colon F(U)\rightarrow F(V)$ . En █████ de los █████████ ████████ █████████ ███ █████, los █████████ ${\text{res}}_{V,U}$ son ███████████ █████████ de ███████████. Si $s\in F(U)$ , ████████ su ███████████ ${\text{res}}_{V,U}(s)$ a ██████ es █████████ como $s|_{V}$ por ████████ con la ███████████ de █████████.

Los █████████ de ███████████ █████ ██████████ ███ ███████████ (███████████) ███████████:

Para ████ ████████ ███████ $█$ de $█$ , el ████████ ███████████ $\operatorname {res} _{U,U}\colon F(U)\rightarrow F(U)$ es el ████████ █████████ en $F(U)$ .
Si se ██████ ████ █████████ ████████ $W\subseteq V\subseteq U$ , ████████ el █████████ ${\text{res}}_{W,V}\circ {\text{res}}_{V,U}={\text{res}}_{W,U}$

De ██████ ████████, el ███████ ██████ ██████ que no ███████ si se █████████ a █ en un ████ o se █████████ ███████ a █, █ █████ a █. Una █████████████ █████████ ███████ de esta ██████████ se ██████ ███ ████████.

█████████ ████████ de ████████ █████████ de ██████████ ██████ de █████████: para ████ $█$ , se le █████ ███████ el ████████ $C^{0}(U)$ de █████████ ██████ █████████ en $█$ . Los █████ de ███████████ ████████ ████████████ de ██████████ una ███████ ████████ en $█$ a un ███████████ ███████ ███ ████████ $█$ , el cual es ██████████ una ███████ ████████. Los ███ ███████ de ████████ se █████████ ██████████████, ████████████ de esta ██████ un ███████ de un ██████. ████ se █████ ████████ a un ███ de █████████ ████████████ ${\mathcal {H}}(-)$ █ a un ███ de █████████ ██████ $C^{\infty }(-)$ .

Otra █████ █████ de ████████ ███████ al ███████ a $█$ el ████████ de █████████ ██████ ██████████ en $█$ . Este ██████ es ██████████ ██████ █████████ ████████ con $\mathbb {R}$ █ se ███████ como ${\underline {\mathbb {R} }}^{psh}$ .

█████

████ un ██████, una ████████ ███████ que se █████ █████ es en que ██████ la █████████ de sus █████████ sobre un ████████ ███████ $█$ ██████ █████████████ por sus █████████████ a ████████████ ████████ de $█$ . Un ███ es un ██████ █████ █████████ son en un ███████ ███████, ██████████ ████████████ por sus █████████████.

En █████ ██████████, un ███ es un ██████ que █████████ los ███ ███████ ██████████:

(█████████) Se ██████ que $█$ es un ████████ ███████, $\{U_{i}\}_{i\in I}$ es una ████████ ██████ de $█$ con $U_{i}\subseteq U$ para ████ $i\in I$ , █ $s,t\in F(U)$ son █████████. Si $s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}$ para ████ $i\in I$ , ████████ $s=t$ .
(██████) Si se ██████ que $█$ es un ████████ ███████, $\{U_{i}\}_{i\in I}$ es una ████████ ███████ de $█$ con $U_{i}\subseteq U$ para ████ $i\in I$ , █ $\{s_{i}\in F(U_{i})\}_{i\in I}$ es una ███████ de █████████. Si █████ los █████ de █████████ █████████ en la █████████████ de sus ████████, o ███, si $s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}$ para ████ $i,j\in I$ , ████████ ██████ una ███████ $s\in F(U)$ ███ que $s|_{U_{i}}=s_{i}$ para ████ $i\in I$ .

En estos ███ ███████, la █████████ de la ████████ ███████ es ███████████ a ███████ que ${\textstyle \bigcup _{i\in I}U_{i}=U}$ .

La ███████ $█$ ████ ██████████ █████ ███████████ por el ███████ ██████ es ██████████ el ██████, █████████████, o ████████ de las █████████ █_█. ██████ al ██████ █ es █████. Las █████████ $s_{i}$ █ $s_{j}$ que ██████████ la ████████████ de ███████ del ███████ ██████ a ██████ son ███████████ ███████████; por lo █████ los ███████ █ █ █ ██████ ██████████ que ████ █████████ de █████████ ███████████ por █████ ██████ ser ███████ de █████ █████. Un ██████ ████████, o ██████████, es un ██████ que █████████ el ██████ █.

El ██████ ███████████ en las █████████ █████████ ██████████ ███████████ es un ███. ████ se ████████ de █████████ que, █████ las █████████ █████████ $f_{i}:U_{i}\to \mathbb {R}$ que ██████████ con las ██████████████ $U_{i}\cap U_{j}$ , ██████ una █████ ███████ ████████ $f:U\to \mathbb {R}$ ████ ███████████ es █████ a $f_{i}$ . ██ ████████, el ██████ █████████ por lo ███████ no es un ███ ya que no █████████ el ██████ de █████████ en el ████████ █████.

Los ████████ █ █████ por lo ███████ son █████████ ██████████ ██████ ██████████, el ███ de la █████ $█$ es ███ █████, ███████████████ por la ███████ ████████ para ███, ████████. ███████ es █████ el ███ de ██████ ████████████ █████ como ${\mathcal {F}}$ .

Es ███████ █████████ que para ███████████ un ███, es ██████████ con ███████████ su ███████████ en █████████ ████████ de una ████ para el ███████ ██████████ ██████████. Es ███ ███, se █████ █████████ que es ██████████ con █████████ los ███████ de █████ █████████ ███████████ █████████ a los █████████ ████████ de una █████████. Este █████ es █████████ para █████████ otro ███████ que es ███████ en █████████ ██████████, que son los █████ █████ ██████████. ████ el ███████ ██████████ en ████████ es el ████████ de un ██████ ███████████ $█$ , █████ ██████ son los ██████ ███████ $█$ en $█$ . Los █████████ ████████ $D_{f}:=\{p\subset R,f\notin p\}$ ██████ una ████ para la █████████ ███████ en este ███████. ████ un $█$ -██████ $█$ , ██████ un ███, █████████ como ${\tilde {M}}$ en el ████ $█$ , que █████████

{\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],

la ████████████ de

█

█

██████ otra ███████████████ de █████ que es ███████████ a la █████████ ███████████. Un ██████ ${\mathcal {F}}$ es un ███ si █ ████ si para ████ $█$ ███████ █ ████ ████████ ███████ $(U_{a})$ de $█$ , ${\mathcal {F}}(U)$ es el ████████ █████ ${\mathcal {F}}(U)\cong {\mathcal {F}}(U_{a})\times _{{\mathcal {F}}(U_{a}\cap U_{b})}{\mathcal {F}}(U_{b})$ . Esta ███████████████ es ████ para █████████ █████, por ███████, si ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ son █████ █████████, ████████ el ██████ del ████████ de █████ ${\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ es un ███, ████ que ███████ ███████████ ████████ con ███████ ███████████. Por otra █████, el ████████ no ███████ es un ███ ██████ el ██████ █████████ no ██████████████ ███████ con los ███████ ███████████. Una █████ de ████████ ████ es ██████████ ████████ ███████████ ███████████; █████ los █████████ ████████ son █████████ por lo que el ████████ es un ███, ████ que los ███████ ███████████ ███████ ████████ con los ███████ ██████████.

Otros ████████

███ de █████████ de un ████ ████████

████ ████ ████████ $f:Y\to X$ de ████████ ███████████ █████████ un ███ $\Gamma (Y/X)$ en $█$ █████████████

\Gamma (Y/X)(U)=\{s:U\to Y,f\circ s=\operatorname {id} _{U}\}.

███ $█$ es ██████████ ██████████ una ███████ de $█$ , █ este ███████ es la █████ por la cual los █████████ en $F(U)$ son ████████████ ███████████ █████████. Esta ████████████ es █████████████ ██████████ ██████ $█$ es la ██████████ de un ███ ████████ en su ███████ ████. Por ███████, Los █████ de █████████ ██████ son los █████ de █████████ del ███████ ██████. Otro ███████: el ███ de █████████ de

\mathbb {C} {\stackrel {\exp }{\to }}\mathbb {C} \setminus \{0\}

es el ███ que ██████ a ████ $█$ el ████████ de █████ del █████████ ████████ en $█$ .

████ un █████ $█$ █ un █████ ████████ $█$ , el ███ ███████████ $S_{x}$ es ████████ de la █████████ ██████: si $█$ es un ████████ ███████ que ████████ $█$ , ████████ $S_{x}(U)=S$ . Si $█$ no ████████ $█$ , ████████ $S_{x}(U)=0$ , el █████ ███████. Los █████ de ███████████ son o ████ la █████████ en $█$ , si █████ █████████ ████████ █████████ $█$ , o de lo █████████ el ████ ████.

█████ en ██████████

En una ████████- $C^{k}$ $█$ -███████████ $█$ , ██████ un ██████ de █████ ██████████, como ser el ███ de las █████████ █████████████ ██████████████ $█$ -█████ ${\mathcal {O}}_{M}^{j}$ (████ $j\leq k$ ). Sus █████████ en █████ $█$ ███████ son las █████████ $C^{j}$ $U\to \mathbb {R}$ . Para $j=k$ , este ███ es ██████████ el ███ ██████████ █ se lo ███████ como ${\mathcal {O}}_{M}$ . Las █████████ $C^{k}$ no █████ ███████ ███████████ un ███, █████████ como ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ . ██████ ██████████████ (de █████ $█$ ) ███████ ██████ un ███ $\Omega _{M}^{p}$ . En █████ estos ████████, los █████████ de ███████████ se ████████ ████████ █████████ o ██████ ████████████.

La ██████████ que █████ $█$ con las █████████ ██████████ en █████ ████████ en $█$ no es un ███, ████ que no ██████, en ███████, █████ de █████████ esta █████████ al █████ a un ███████████ ███████ ███ ███████. En ██████, ████ █████ un █████, un ████████ ████ en donde los █████ de ███████████ ███ en █████████ ██████ que en el ████ de los █████. Sin ███████, el ████ de estos ████████ de ████████ ████████ un ███, el ███ de las ██████████████.

███████████

[█]
██████, ████ █. (████), █████ ██████, ████████ █████ ██ ███████████ ███ (███ ███████), ████████-██████, ████ ███-█-███-█████-█, ██ ███████. (█████████ █████ ████████████ ███████████ ██████████████)
[█]
████████, █████ █. (████), █████ ██████, ██████ ████████████ ███████ ███████ ████ ██████ ██, █████████ ██████████ █████, ████ ███-█-███-█████-█, ██ ███████. (███████████ ██████████)
[█]
████████, █████; ██████, ███ (█ de █████ de ████), ███ ████████ ██ ███████, ███, ███ ████, ██: ████████, ██. ██-██, ████ ███-█-███-█████-█.
[█]
████████, █. █. (████), █████ ██████, █████████ ██████████ █████, ██ ███████.
[█]
██████ (████, ███████ █, §█)

████████████

de ███████, ██████ ████; ██████████, ████ (████). «████ ██ a ████████ █████?». ███████ ██ ███ ████████ ████████████ ███████ ██ (█): ███-█. ███████:█████████████.█████. ██ ███████. █████:████.████.
████████, █████ (████), █████████ ██████████ ██ ███████ ███ █████████, █████: ███████, ████ ██████████, ██ ███████.
████████████, █████████ (████), «███ ████████ ██████ █'███████ ███████████», ███ ██████ ████████████ ███████, ██████ ██████ █ (█): ███-███, ████ ████-████, ██ ███████, ███:██.████/███/██████████.
██████████, █████████ (████), ███████████ ███████ ██ █████████ ████████, ████████ ██ ███████████, ████████-██████, ████ ███-█-███-█████-█, ██ ███████. (███████ ███████ ██ a ███████ █████ ██████ █████ ██████ ██ ████ ███ █████)
███████, ██████ (████), ██████████ ██ ███████, ████████████, ████████, ████ █-███-█████-█, ██ ██████, ███:██.████/███-█-███-█████-█.
█████████, ██████; ████████, ██████ (████), ███████ ██ █████████, ███████████ ███ ██████████████ ██████████████ [███████████ ██████████ ██ ████████████ ████████] ███, ████████-██████, ████ ███-█-███-█████-█, ██ ███████. (████████ ██████████ ████ ██ ███ ███████ ████████ ███ █████████ ██████ ██ ███ ████ ██████████ ██████)
███ ████, ████████; ████████, ████ (████), ███████ ██ ████████ ███ █████: A █████ ████████████ ██ █████ ██████, ████████████, ████████-██████, ████ ███-█-███-█████-█, ██ ███████. (████████ ██████ ███ ███████ ██████████)
██████, ███████ █.; █████, ██████-████; ███████, █████ (████), «██████████ ██████ ██ ███ ██████ ██████ █████████, ███████ ███████ █████████», ████████ ██ ███ ████████ ████████████ ███████ ██ (█): ██-███, ████ ████-████, ██ ███████, ███:██.████/█████-████-████-█████-█.
███████, █. (████), ██████ ████████, ████████ ███████ ██ ███████████ ██, ████████ ████████████ ███████, ████ █-████-████-█, ██ ███████, ███:██.████/███/███.
███████, █. ██████; ███████, █████ A.; █████, ████ A. (████), «████ ██ a █████», ████████ ████████████ ███████ ██ (█): ███-███, ██ ███████, █████ █████████, ███:██.████/████████.████.████████.
█████, ████-██████ (████), «█████████ ███████████ █████████», ██████ ██ ███████████, ██████ ██████ ██ (█): ███-███, ████ ████-████, █████ ███████, ██ ███████, ███:██.████/███████, █████████ desde el ████████ el ██ de █████ de ████, ██████████ el █ de █████ de ████.
████, ███████ █. (████), ███ ██████ ██ ███████, ███████ ████████ ██ ███████████ (█ ███████), ██████████ ██ ███████ █████, ████ █████████████. (███████ ███████ █████)
██████, ██████ (████). █████ ██████ ███████ ████████. █████████, █████████████. ████ ███-█-███-█████-█. ████ ██████████. █████ █████████. ███:██.████/████████/█████.███.████. (████████████ ████ ████ ████ ██████)

█████: ███████