█████ (██████████)

Eine █████ ist ein ███████ aus █████████████ ████████ der ██████████ wie zum ████████ der █████████████ █████████ und █████████████████. Eine █████ █████████ ███████ ████ einem █████████████ ████ ███████ aus je einer █████████ ██████ zu █████ ███████ █████████ des ███████████ und ███████████ ████████████████████████████ zwischen ██████ █████████ ███████. ████████████ ███████ eine █████ von ██████ aus einem ████ ███ ████ ██████ █████████ und ██████████████████. Das ██████████ ████████ einer █████ ist die █████ der ████████ █████████████ ██████████ auf ███████ ██████████ eines █████████████ ██████ ████████ mit der █████████████ der ██████████ auf ████████ ██████ ██████████. Der █████████████ ███████ ist ████████████ von einer █████████████ ██████████.

█████████ ██████ sich auf einer ██████████ █████████ ██████████. ██████ ██████ sich auf einem ██████████ █████ (das ist eine █████████, auf der eine ████████████-█████████ ███████ ist) ██████████.

████████████

Um die ██████████ der █████ zu █████████, ist es ██████, sich das ████████ der █████ der ████████ ██████████ ████████ zu ██████: $F(U)$ ist dann die █████ der ████████ ██████████ $U\to \mathbb {R}$ , die █████████████████████████ (██████ der █████████████████████ unter dem ███████ $F$ ) sind ███████████ die ███████████████ der ██████████ auf ████████ ████████.

████████ auf einem █████████████ ████

Eine ████████ ${\mathcal {F}}$ auf einem █████████████ ████ $X$ ██████ █████ ███████ █████████ $U\subseteq X$ eine █████ (███. eine ████████ ██████, einen █████, einen ████) ${\mathcal {F}}(U)$ ████████ mit █████████████████████████ $\rho _{V}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V)$ ███ alle ███████████ ███████ ██████████ $V\subseteq U$ zu. Dabei ██████ die █████████████████████████ (im █████ von █████████ ███████, ██████ oder ██████ █████████████ ██████████████ sein und) in der „████████████████“ █████ ██████████████:

$\rho _{U}^{U}=\mathrm {id} _{{\mathcal {F}}(U)}$
$\rho _{W}^{V}\circ \rho _{V}^{U}=\rho _{W}^{U}$ ███ ██████ ██████████ $W\subseteq V\subseteq U$ .

Die ████████ von ${\mathcal {F}}(U)$ ██████ (██████) ████████ von ${\mathcal {F}}$ ████ $U$ , die ████████ von ${\mathcal {F}}(X)$ ███████ ████████. █████ ${\mathcal {F}}(U)$ ████████ ███ auch $\Gamma (U,{\mathcal {F}}).$

███ die █████████████ $\rho _{V}^{U}(f)$ eines █████████ $\,f\in {\mathcal {F}}(U)$ auf eine ██████ █████████ $V\subseteq U$ ████████ ███ auch $\,f|_{V}$ .

█████ auf einem █████████████ ████

Eine █████ ist eine ████████, bei der die █████ „█████“ sind, d. █. die █████████ beiden ███████████ ███████ sind:

██████ ███████████████ ██████████ ███████ ███████████████: Sind $f$ und $g$ ████████ von ${\mathcal {F}}$ ████ $U$ und $\{V_{i}\}$ eine ██████ ███████████ von $U$ , und ████

f|_{V_{i}}=g|_{V_{i}}

███ alle

i

, so ████

f=g

████████████████ ██████ █████ ██████ sich „█████████“: Sind ████████ $f_{i}\in {\mathcal {F}}(V_{i})$ ███████, so dass die ███████████████ von $f_{i}$ und $f_{j}$ auf $V_{i}\cap V_{j}$ ██████████████, so ████ es einen ███████ $f\in {\mathcal {F}}(U)$ , so dass

f_{i}=f|_{V_{i}}

███ alle

i

████.

Aus der ██████ █████████ █████, dass $f$ in der ███████ █████████ durch die $f_{i}$ █████████ ████████ ist.

██████████████████████ ██████████ einer █████ auf einem █████████████ ████

Es sei $X$ ein █████████████ ████. Die █████████ $\mathbf {Ouv} (X)$ ████ als ███████ die ███████ ██████████ von $X$ mit einem ██████████ $U\to V$ ███ ████ █████████ $U\subseteq V$ ███████ ██████. Eine ████████ ${\mathcal {F}}$ auf $X$ mit ██████ in einer █████████ $C$ ist ein ███████████████ ███████ ${\mathcal {F}}\colon \mathbf {Ouv} (X)\to C$ . $C$ ███████ ████████.

Eine ████████ ${\mathcal {F}}$ █████ █████, █████ das ████████ ████████ ███ ████ ██████ █████████ $U\subseteq X$ und ████ ███████████ $\{V_{i}\}$ von $U$ █████ ist:

{\mathcal {F}}(U)\rightarrow \prod {\mathcal {F}}(V_{i})\rightrightarrows \prod {\mathcal {F}}(V_{i}\cap V_{j}),

d. █., dass ${\mathcal {F}}(U)$ der █████████████ der beiden ███████ ██████ ist, die sich wie █████ ████████. Zu █████ █████████ $(i,j)$ hat ███ ████ ███████████ $\iota _{1}^{(i,j)}:V_{i}\cap V_{j}\rightarrow V_{i}$ und $\iota _{2}^{(i,j)}:V_{i}\cap V_{j}\rightarrow V_{j}$ . Einer der ██████ ist das ███████ der ${\mathcal {F}}(\iota _{1}^{(i,j)}):{\mathcal {F}}(V_{i})\rightarrow {\mathcal {F}}(V_{i}\cap V_{j})$ , der ██████ das ███████ der ${\mathcal {F}}(\iota _{2}^{(i,j)})$ .

████████ auf einer █████████, █████ auf einem █████

Eine ████████ auf einer █████████ C ist ein ███████████████ ███████ ${\mathcal {F}}$ : C $\rightarrow$ A in eine █████████ A, etwa die █████████ der ██████ oder die █████████ der █████████ ███████. ████ C eine ████████████-█████████ ███████, so █████ ███ eine ████████ eine █████, ████ ███ ████ ████████████ ███████ {█_i: V_i $\rightarrow$ U}_{i $\in$ I} die ███████

{\mathcal {F}}(U)\rightarrow \prod {\mathcal {F}}(V_{i})\rightrightarrows \prod {\mathcal {F}}(V_{i}\times V_{j}),

█████ ist, d. █. ████ ${\mathcal {F}}(U)$ der █████████████ der beiden ███████ ██████ ist.

Wie im ████ eines █████████████ ██████ kann ███ █████████ █████████. Ebenso kann ███ ████████████ ███████████████████ ██████████, etwa ████-███████████.

Die ██████████ aller ██████ auf einem █████ ██████ einen █████.

██████████

So wie eine █████ eine ████████ von ████████ ist, ist ein ██████████ zwischen ██████ eine ████████ von ██████████ ██████ ███████. █████ ████ mit den █████████████████████████ ███████████ sein.

Es █████ ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ ██████ auf $X$ mit ██████ in derselben █████████. Ein ██████████ $\varphi \colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ ███████ aus einer ████████ von ██████████ $\varphi (U)\colon {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)$ , einer ███ ████ ██████ █████████ $U$ von $X$ , so dass ███ ████ █████████ $V\subseteq U$ ███████ ██████████ die █████████ ${\tilde {\rho }}_{V}^{U}\circ \varphi (U)=\varphi (V)\circ \rho _{V}^{U}$ ███████ ist. ███████ ██████████ $\rho _{V}^{U}$ die ███████████████████████ von ${\mathcal {F}}$ und ${\tilde {\rho }}_{V}^{U}$ die von ${\mathcal {G}}$ .

█████ ███ die ██████ wie oben ███████████ als █████████ auf, so ist ein ██████████ zwischen den ██████ ████████ wie eine ██████████ ██████████████ der █████████.

███ ████ █████████ $C$ ██████ die $C$ -████████ ██████ mit ██████ █████████████████ eine █████████.