█████████████ ████████████

██ ██████ █████ ███████████ ██ █████████████ ████████████ █ ███ █████████████ ██ ███████████ ████████ ███ ████████ ██ "██████ ██ ████" ██ ██ ████████ ███ ███ █████████ (█████ ██ █████████████ ████████████ █ █████ ██ ███████). ██ ███████ █ ██ ██████ ██ ████ ██ ███ ██████████ ███████████ █████ ██ ████████ ██████ ██ ██████ █████ █████████ ██ ██ ████████; ██████ ████ █ ██ █████████ ██ █████ ██ ██████ ███ █████ ████████, ██ ████████ ████████ ███ █████████████ ██████████.

██ █████████████ ████████████ (█ ██ ███████) ███ ███████ █████ ████ ██ █████████████ ██ ███████████ ██ ███ █████████ █████████ ████████ ████ █████ ███ ████████ ██ ███ █████████ █████████ ███████ ██████████████ (█████ ███ ██████ ██████ ████ █ ████████ ████████); ██████ █ ██████████ █████████████ █████ █ ██ ████ ███████████ ██ █████████████ ███ ███-██████, ███████, █████'██████, ██ █████████████ ██ ███████████ █████ █████████ █████████ █████████ ████ ██ █████ ███ ████████ ██ █ █████████ █████████ ████████████ ███████ █ ██████████████.

███████████

██ █████████████ ████████████ ${\mathcal {E}}(\lambda )$ , ███ █████████ $\lambda >0$ , ██ ████████ ██ ███████ ██ ███████████:

f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x>0,\\0&x\leq 0.\end{cases}}

█████████

██ █████████ $\lambda$ ███'██████ ████████ ████████ █'█████████ █████ ████████ ██ ███████ ███ █████ ███ $█.$

███████ ██ ███████

███ █████████ █████████ $█$ ███ █████████████ ████████████ ██ █████████ $\lambda$ ██ ████████ ██ ████████████

F(x)=P(X\leqslant x)=1-e^{-\lambda x}.

██ ███████████ ██ ███████ $P(X>x)=e^{-\lambda x}$ ███████ ██ ████████ ██ ███████:

P(X>a+b|X>a)={\frac {P(X>a+b)}{P(X>a)}}=P(X>b).

█████████, ██ ███ █████████████ ██ ███████████ ████████ ███ ██████ █████ ████████ █ █████ ██ ███████, ██████ ████████ ${P(X>a+b)=P(X>a)P(X>b)}$ ███ ████ ██████ ██ $█$ █ ██ $█,$ ██████ ████ ██ █████████ $P(X>x)=P(X>1)^{x}$ ███ ████ $█$ █████████ ████████ █ ███████, ██████ ████ ██████████ █████ ████████ ██ ████████████, ███ ████ $█$ █████ ████████; ██ ███████████ █████████ $\lambda =-\log P(X>1)$ ██ █████ ███████

F(x)=1-P(X>x)=1-e^{-\lambda x}.

███ ██ █████████████ ██ ███████████ ████████, ██████, ████ █████████████ █████ ██ ███████ █ ███ █████████████ ██████████.

███████████████

███ █████████ █████████ ███ █████████████ ████████████ ██ █████████ $\lambda$ ██

██████ ██████ $E[X]=1/\lambda$ ,
████████ ${\text{Var}}(X)=1/\lambda ^{2}$ ,
████████ ██████████████ $\phi _{X}(t)=\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}$
████████ ███████████ ███ ███████ $g_{X}(t)=\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}$
██████ ██ ██████████ █ ██ ███████ $\gamma _{1}=2$ █ $\gamma _{2}=6$ .
████████ ███████ ████████ $\mu _{n}={\frac {1}{\lambda ^{n}}}!n={\lambda }^{-n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}/k!={\frac {\Gamma (n+1,-1)}{e\lambda ^{n}}}$ ████ $! █$ █ ██ ███-██████████ ██ $█$ .

█ ████ ████████ ██ ███████ ████████ ██████████ ██ ████████ ██ ████████████:

\alpha =F(q_{\alpha })=1-e^{-\lambda q_{\alpha }}

q_{\alpha }=F^{-1}(\alpha )={\frac {1}{\lambda }}\log {\frac {1}{1-\alpha }}

;

██ ███████████ █ ████ ████████ (█ ██ ███████) ████

q_{1/4}={\frac {1}{\lambda }}\log {\frac {4}{3}}

q_{1/2}={\frac {1}{\lambda }}\log 2

q_{3/4}={\frac {1}{\lambda }}\log 4

█████████████

██ ██████ $Y=\min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}$ ███ $█$ █████████ █████████ ████████████ ███ █████████████ ████████████ ██ █████████ $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ █ ██████ ███ █████████ █████████ ███ █████████████ ████████████, ██ █████████ $\lambda =\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}$ .

██ █████████ █████ █████████████ ████████████, ████ █████████████ █████ ██ ███████, ███ ██ █████████████ ██ ███████████ ████████ █ ██ █████████████ ██████████. ██ ███████████, ██ $█$ █████ ██ █████████████ ████████████ ${\mathcal {E}}(\lambda )$ ██████ ███ ████ $\theta >0$ ██ █████████ █████████ $Y_{\theta }=[\theta X]$ (█████ ██████) █████ ██ █████████████ ██████████ ${\mathcal {G}}(e^{-\lambda /\theta })$ :

P(Y=n)=P(n\leqslant \theta X<n+1)=F_{X}\left({\frac {n+1}{\theta }}\right)-F_{X}\left({\frac {n}{\theta }}\right)=\left(1-e^{-\lambda /\theta }\right)\left(e^{-\lambda /\theta }\right)^{n}.

██ █████████████ ██ ███████ ${\mathcal {P}}(\lambda )$ ████████ ██ ██████ ██ ██████ ██████████ ██████████ ██ ██ ██████████ ██ █████, ████ █ █████ ██ ██████ ███ ███ ██████ ██████████ ████ ████████████ █ ████████ █████ █████████████ ████████████ ██ ████████ █████████ $\lambda$ .

██ █████████████ ████████████ ${\mathcal {E}}\left({\tfrac {1}{2}}\right)$ ███████████ ████ █████████████ ███ ████████ ███ ███ █████ ██ ███████, $\chi ^{2}(2)$ .

██ █████████████ ██ ███████ ██ █████████ $(\mu ,b)$ ███████ ██ █████████ █████████ $Y=\mu +X_{1}-X_{2}$ , ████ $X_{1},X_{2}$ ████ ███ █████████ █████████ ████████████ ███ ██ ████████ █████████████ ████████████ ${\mathcal {E}}(1/b)$ .

██ █████████████ █████ ███████████ ██ █████████████ ████████████: $\Gamma (1,\lambda )$ ████████ ███ ${\mathcal {E}}(\lambda )$ . ██ ███████████, ██ █████ $Y=X_{1}+\dots +X_{n}$ ██ $█$ █████████ █████████ ████████████ ██ ████████ █████ ████████████ ███ █████████ $\lambda$ █████ ██ █████████████ █████ $\Gamma (n,\lambda )$ . ███████ ████'█████████ █████████ ██ ██ █████████ $\lambda$ ██ ███ █████████████ ████████████ █████, █ ██████ ██ ██'████████████, ███ █████████████ █████, ██████ █████ ███ █████████████ █████ █████ █ ██████████.