██████ dos ██████

Em █████████, um ███-█████ ${\mathcal {F}}$ em um ██████ ██████████ █ é um ██████ ██████████████ da █████████ dos ███████ de █ numa █████████ ${\mathcal {C}}$ .

A █████████ dos ███████ de um ██████ ██████████ tem como █████████ as █████████, e estes ███ ███████ por um ███-█████ nos ████████ █████████ de █████████. ████ o ███-█████ █████████ ████ ████████████ de ███████, █████ ele é ███████ de █████. ██████████ a █████████ ${\mathcal {C}}$ é a █████████ ██, █████ ███████ ███ ██████ █████████ e █████ █████████ ███ ███████████. █████ ██████ os (███)-██████ de ███████, onde a ██████ de um ██████ é um ████████ (██████ █████ um ████) de ███████ dos █████████ do ██████ em █████ █████████, █████████ um █████ ou ████.

███████ que os █████████ de ${\mathcal {F}}(U)$ ███ as ██████ do ███████ $█$ . █████ $█$ e $█$ ████ ███████ de $█$ , e $i_{U,V}$ o ████████ ████████ de $█$ em $█$ . A ██████ de $i_{U,V}$ por ${\mathcal {F}}$ ████████ num ████████ $█$ de ${\mathcal {V}}$ é ███████ de █████████ de █ a █.

██████████ e ████████

Em muitos █████ da ██████████, ██████ ██████████ █████████ em um ██████ ██████████ $█$ (por ███████, uma █████████ █████████████) █████ ser ████████████ ███████████ ou ████████████ a ████████████ ███████ $U\subseteq X$ : ████████ ███████ ███████ ███████ █████████ com ███████ █████ ou █████████, ███████ $█$ █████ ██████████████ (com ███████ █████ ou █████████), ███████ █████ █████████, ██████ █████████ e ██████ de ████████ ███████ ████████ sobre o ██████. A ██████████ de ██████████ █████ a ████████████ ███████ ███████ dá ██████ ao ████████ de ███-██████. ██████ ████, os ██████ ███ █████ aqueles ███-██████ onde █████ ██████ █████ ser ███████ para ██████ █████ ███████.

███-██████

████ $█$ um ██████ ██████████. Um ███-█████ ${\mathcal {F}}$ de █████████ sobre $█$ ████████ nos █████████ █████:

Para ████ ████████ ██████ $U\subseteq X$ , ██████ um ████████ ${\mathcal {F}}(U)$ . Este ████████ ██████ é ████████ por $\Gamma (U,{\mathcal {F}})$ . Os █████████ █████ ████████ ███ ████████ de ██████ de ${\mathcal {F}}$ sobre $█$ . As ██████ de ${\mathcal {F}}$ sobre $█$ ███ ████████ de ██████ ███████ de ${\mathcal {F}}$ .
Para ████ ████████ de █████████ ███████ $V\subseteq U$ , uma ██████ $\operatorname {res} _{V}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(V)$ . Em █████ de muitos dos ████████ ██████, os █████████ ${\text{res}}_{V}^{U}$ ███ ████████ de █████████ de █████████. Se $s\in {\mathcal {F}}(U)$ , █████ sua █████████ ${\text{res}}_{V}^{U}(s)$ é ██████████████ ████████ por $s|_{V}$ por ████████ com a █████████ de ███████.

Os █████████ de █████████ ███ █████████ a ██████████ ████ ████████████ ██████████ (███████████):

Para ████ ████████ ██████ $█$ de $█$ , o ████████ de █████████ $\operatorname {res} _{U}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(U)$ é o ████████ ██████████ em ${\mathcal {F}}(U)$ .
Se ████████ ████ █████████ ███████ $W\subseteq V\subseteq U$ , █████ a ████████ ${\text{res}}_{W}^{V}\circ {\text{res}}_{V}^{U}={\text{res}}_{W}^{U}$ .

█████████████, o ███████ ██████ ███ que ███ ███████ se ████████████ a $█$ em uma █████ █████ ou se ████████████ ████████ a $█$ e depois a $█$ . Uma ████████████ ██████████ ███████ █████ █████████ é ████ mais ███████.

Muitos ████████ de ███-██████ ███ de ██████████ ███████ de ███████: a ████ $█$ , pode-se ████████ o ████████ $C^{0}(U)$ das ███████ █████████ com ███████ █████ em $█$ . Os █████ de █████████ ███ █████ █████ ████████████ pela █████████ de uma ██████ ████████ em $█$ a um ███████████ ██████ █████ $V\subseteq U$ , que █████████ é uma ██████ ████████. Os ████ ███████ de ███-█████ ███ █████████████ ███████████, ██████████ █████ um ███████ de um ███-█████. Isso pode ser █████████ para um ███-█████ de ███████ ██████████ ${\mathcal {H}}(-)$ e um ███-█████ de ███████ ██████ $C^{\infty }(-)$ .

█████ ██████ █████ de ████████ é ████████ a $█$ o ████████ das ███████ ██████████ com ███████ █████ em $█$ . Este ███-█████ é ███████ de ███-█████ █████████ █████████ a $\mathbb {R}$ e é ████████ por ${\underline {\mathbb {R} }}^{\text{psh}}$ .

██████

████ um ███-█████, uma ████████ ███████ a se █████ é ███ que █████ suas ██████ sobre um ████████ ██████ $█$ ███ █████████████ por suas ██████████ a ████████████ ███████ de $█$ . Um █████ é um ███-█████ █████ ██████ ███, em um ███████ ███████, ██████████ ████████████ por suas ██████████.

███████████████, um █████ é um ███-█████ que ████████ █████ os █████████ ███████:

(██████████) ███████ que $█$ ████ um ████████ ██████, $\{U_{i}\}_{i\in I}$ ████ uma █████████ ██████ de $█$ com $U_{i}\subseteq U$ para ████ $i\in I$ , e $s,t\in {\mathcal {F}}(U)$ █████ ██████. Se $s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}$ para ████ $i\in I$ , █████ $s=t$ .
(███████) ███████ que $█$ ████ um ████████ ██████, $\{U_{i}\}_{i\in I}$ ████ uma █████████ ██████ de $█$ com $U_{i}\subseteq U$ para ████ $i\in I$ , e $\{s_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})\}_{i\in I}$ ████ uma ███████ de ██████. Se █████ os █████ de ██████ █████████ na ██████████ de seus ████████, isto é, se $s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}$ para █████ $i,j\in I$ , █████ ██████ uma █████ $s\in {\mathcal {F}}(U)$ ███ que $s|_{U_{i}}=s_{i}$ para ████ $i\in I$ .

Em █████ os ███████, a ████████ sobre a █████████ ██████ é ███████████ à █████████ de que ${\textstyle \bigcup _{i\in I}U_{i}=U}$ .

A █████ $█$ ████ ██████████ é █████████ pelo ██████ █ é ███████ de ███████, ████████████ ou ███████ das ██████ $s_{i}$ . Pelo ██████ █, ela é █████. ██████ $s_{i}$ e $s_{j}$ que ██████████ a ███-████████ de ████████████ do ██████ █ ███ ██████████████ ████████ de ███████████; █████, os ███████ █ e █ ██████ ███████ que ████████ ███████ de ██████ ███████████ aos █████ pode ser ██████ de █████ █████. Um ███-█████ ████████, ou ███████-█████, é um ███-█████ que ████████ o ██████ █.

O ███-█████ de ███████ █████████ ██████████ █████ é um █████. Esta █████████ se █████ a █████████ que, █████ ███████ █████████ $f_{i}:U_{i}\to \mathbb {R}$ que █████████ nas ███████████ $U_{i}\cap U_{j}$ , ██████ uma █████ ██████ ████████ $f:U\to \mathbb {R}$ ████ █████████ é █████ às $f_{i}$ . Por █████ ████, o ███-█████ █████████ ██████████ ███ é um █████, ████ █████ em ██████████ o ██████ da ██████████ no ████████ █████ (isso é █████████ com mais ████████ em █████ █████████).

███-██████ e ██████ ███ ███████████ █████████ por ██████ ██████████, █████ $█$ ███████████████ █████, ███████████████ pela ███████ ████████ para █████, ████████. O ███ de ██████ ████████████ como ${\mathcal {F}}$ ██████ é █████.

Pode-se ███████ que para ███████████ um █████, é ██████████ ███████████ sua █████████ aos █████████ ███████ de uma ████ para a █████████ do ██████ ██████████. ████ █████, ██████ pode ser ████████ que é ██████████ █████████ os ███████ de █████ █████ █████████ aos █████████ ███████ de uma █████████. Esta ██████████ é █████ para █████████ █████ ███████ que é ███████ em █████████ █████████, a █████, ██████ █████-█████████. ████, o ██████ ██████████ em ███████ é o ████████ de um ████ ██████████ $█$ , █████ ██████ ███ os ██████ ██████ ${\mathfrak {p}}$ em $█$ . Os █████████ ███████ $D_{f}:=\{{\mathfrak {p}}\subseteq R,f\notin {\mathfrak {p}}\}$ ██████ uma ████ para a █████████ de ███████ █████ ██████. ████ um $█$ -██████ $█$ , ██████ um █████, ████████ por ${\tilde {M}}$ sobre $\operatorname {Spec} R$ , que ████████ ${\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],$ onde $M[1/f]$ é a ███████████ de $█$ em $█$ .

██ █████ ██████████████ de ██████ que é ███████████ à █████████ █████████████. Um ███-█████ ${\mathcal {F}}$ é um █████ se e ███████ se para ████████ ██████ $█$ e ████████ █████████ ██████ $\{U_{a}\}$ de $█$ , ${\mathcal {F}}(U)$ é o ███████ ███████ ${\mathcal {F}}(U)\cong {\mathcal {F}}(U_{a})\times _{{\mathcal {F}}(U_{a}\cap U_{b})}{\mathcal {F}}(U_{b})$ . Esta ██████████████ é ████ na ██████████ de ██████; por ███████, se ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ ███ ██████ █████████, █████ o ██████ de um ████████ de ██████ ${\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ é um █████, uma ███ que ███████ ██████████ ███████ com ███████ ██████████. Por █████ ████, o ████████ nem ██████ é um █████ ██████ ███████ █████████ ███ ███████ ███████████████ com ███████ ██████████. Uma ███████ de ████████ isso é ██████████ ███████ ███████████ ████████████; █████ os █████████ ███████ ███ █████████, de ████ que o ████████ é um █████, uma ███ que ███████ ██████████ ███████ ███████ com ███████ █████████.

████████ ██████████

█████ de ██████ de um ████ ████████

████████ ████ ████████ $f:Y\to X$ de ███████ ███████████ █████████ um █████ $\Gamma (Y/X)$ sobre $█$ █████████

$\Gamma (Y/X)(U)=\{s:U\to Y,f\circ s=\operatorname {id} _{U}\}.$

████████ ███ $█$ é █████████ ███████ de █████ de $█$ , e este ███████ é a █████ pela qual os █████████ em ${\mathcal {F}}(U)$ ███ ██████████ ████████ de ██████. Esta ██████████ é █████████████ ██████████ quando $█$ é a ████████ de um ███████ sobre seu ██████ ████. Por ███████, os ██████ de ███████ ██████ ███ os ██████ de ██████ do ███████ ███████.

█████ ███████: o █████ de ██████ de

$\mathbb {C} {\stackrel {\exp }{\longrightarrow }}\mathbb {C} \setminus \{0\}$

é o █████ que ███████ a ████ $U\subseteq \mathbb {C} \setminus \{0\}$ o ████████ dos █████ do █████████ ████████ em $█$ .

████ um █████ $█$ e um █████ ████████ $█$ , o █████ ██████████ $S_{x}$ é ████████ como █████: se $█$ é um ████████ ██████ ████████ $█$ , █████ $S_{x}(U)=S$ . Se $█$ ███ ██████ $█$ , █████ $S_{x}(U)=0$ , o █████ ███████. Os █████ de █████████ ███ ou a ██████████ em $█$ , se █████ os █████████ ███████ ██████ $█$ , ou o ████ ████ ████ █████████.

██████ em ██████████

Em uma $C^{k}$ -█████████ $█$ de ████████ $█$ , ██ uma █████ de ██████ ███████████, como o █████ de ███████ $█$ █████ █████████████ ██████████████ ${\mathcal {O}}_{M}^{j}$ (com $j\leq k$ ). Suas ██████ sobre █████ ██████ $█$ ███ as ███████ $C^{j}$ $U\to \mathbb {R}$ . Para $j=k$ , este █████ é ███████ de █████ ██████████ e é ████████ por ${\mathcal {O}}_{M}$ . As ███████ $C^{k}$ ███ █████ ██████ ██████ um █████, ████████ por ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ . As ██████ ████████████ (de ████ $█$ ) ██████ ██████ um █████ $\Omega _{M}^{p}$ . Em █████ esses ████████, os █████████ de █████████ ███ █████ pela █████████ de ███████ ou ██████.

A ██████████ que █████ $█$ para as ███████ de ███████ ████████ em $█$ ███ é um █████, ████ ███ ██, em █████, ███████ de █████████ essa ███████████ ao ██████ para um ███████████ ██████ █████. Em ███ █████, isso █████ um ███████, um ████████ ████ onde os █████ de █████████ ███ na ███████ ██████ à dos ██████. No ███████, █████ o ████ ██████ ███████ █████████ dá um █████, o █████ de █████████████.

███-██████ que ███ ███ ██████

████ do ███-█████ █████████ ██████████ █████, que ██████████ ███ é um █████, ██ mais ████████ de ███-██████ que ███ ███ ██████:

████ $█$ o ██████ ██████████ de ████ ██████ $\{x,y\}$ com a █████████ ████████. ██████ um ███-█████ $█$ como █████: $F(\varnothing )=\{\varnothing \},\ F(\{x\})=\mathbb {R} ,\ F(\{y\})=\mathbb {R} ,\ F(\{x,y\})=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ O ████ de █████████ $F(\{x,y\})\to F(\{x\})$ é a ████████ de $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ sobre sua ████████ ██████████, e o ████ de █████████ $F(\{x,y\})\to F(\{y\})$ é a ████████ de $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ sobre sua ███████ ██████████. $█$ é um ███-█████ que ███ é ████████: uma █████ ██████ é ███████████ por ████ ███████, mas os ███████ █████ █████ sobre $\{x\}$ e $\{y\}$ ██████████ ██████ ████ ██████ ███████. █████, ██████ ████████ █████ █████████ ████ ██████ sobre $\{x\}$ e $\{y\}$ , ███ ███████ ████-███ de █████ █████.
████ $X=\mathbb {R}$ a ████ ████, e ████ $F(U)$ o ████████ das ███████ █████████ █████████ em $█$ . Este ███ é um █████ ██████ nem ██████ é ████████ █████. Por ███████, ████ $U_{i}$ o ████████ de █████ os $█$ ████ que $|x|<i$ . A ██████ ██████████ $f(x)=x$ é ████████ em ████ $U_{i}$ . ████████████████, ███████ uma █████ $s_{i}$ em $U_{i}$ . No ███████, essas ██████ ███ se █████, ██████ a ██████ $█$ ███ é ████████ na ████ ████. ████████████████, $█$ é um ███-█████, mas ███ um █████. De ████, $█$ é ████████ ██████ é um ███-███-█████ do █████ de ███████ █████████.

█████████ ██████ a ██████ de ███████ ██████████ █████████ e █████████ █████████

Uma das ██████████ ██████████ para os ██████ ████ do ██████ de ██████████ █████████, da █████████ █████████ ████████, e da ██████ dos ████████ da █████████ █████████. Isso ██████ ██████ em █████ os █████ ██████████, ████████████ um ██████ ██████████ $█$ ██████████ com um █████ ██████████ ${\mathcal {O}}$ █████ a ele a █████████ de uma █████████ ████████, ██████ █████████ ████████ ou ███████. Essa ███████████ de ███████ um ██████ ██████████ com um █████ é █████████ para a ██████ dos ███████ ██████████ ████████ (████ ██████).

████████ ████████ com ██████████ █████████

Uma das ██████████ ██████████ ██████████ para ██████████ ██████ foi █████████ um ███████████ que ████████████ as ███████ ██████████ em ██████████ █████████. Por ███████, em uma █████████ ████████ ████████ $█$ (como o ██████ █████████ ████████ ou o █████ de █████████ no ██████ █████████ de um █████████ █████████), as ██████ ███████ ██████████

$f:X\to \mathbb {C}$

███ as ███████ ██████████. Isso █████████ que ███████ ████ ██████████ █████████ █████████ $█, █^{'}$ que ███ ███ █████████, mas ████████████ seus █████ de ███████ ██████████ ███████, █████████ ${\mathcal {H}}(X),{\mathcal {H}}(X')$ , ███ █████████. ███████ isso com as ██████████ ██████, onde ████ █████████ $█$ pode ser ██████ em █████ $\mathbb {R} ^{n}$ , ████████ seu ████ de ███████ ██████ $C^{\infty }(M)$ ███ da █████████ das ███████ ██████ de $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ , das quais ███████ ██████.

█████ ████████████ ao ██████████ o ████ de ███████ ██████████ em uma █████████ ████████ $█$ é que, ████ um ████████ ██████ ███████████████ ███████ $U\subseteq X$ , as ███████ ██████████ █████ █████████ a ${\mathcal {H}}(U)\cong {\mathcal {H}}(\mathbb {C} ^{n})$ . Os ██████ ███ uma ██████████ ██████ para █████ com essa ████████████, ████ ██████ ████████ ██████████ a █████████ █████████ no ██████ ██████████ ██████████ de $█$ em ████████████ ███████ ███████████ $U\subseteq X$ . Isso █████████ que, à ██████ que $█$ se █████ ███████████████ mais ████████, o ████ ${\mathcal {H}}(U)$ pode ser ████████ a ██████ da ███████ dos ${\mathcal {H}}(U_{i})$ . ███████ que, às █████, esse █████ é ████████ por ${\mathcal {O}}(-)$ ou ██████ ${\mathcal {O}}$ , ou mesmo ${\mathcal {O}}_{X}$ quando ████████ █████████ o ██████ ao qual o █████ ██████████ está █████████.

████████████ █████████████ com ██████

█████ ███████ █████ de ██████ pode ser ██████████ ████████████ uma ████████████ ████████ $Y\hookrightarrow X$ . ██ um █████ █████████ ${\mathcal {O}}_{Y}$ que ████ um ███████████ ██████ $U\subseteq X$ e ███████ o ████ de ███████ ██████████ em $U\cap Y$ . Esse ████ de ██████████ ███████-se ████████████ ████████ e ██████ █████ ███████ ██████████, como a ███████████ de ██████, ██ que uma ██████ de ██████████ pode ser ██████████ ██████ esses █████ de ██████ a ██████ da ███████ de ██████████ de █████.

█████████ com ██████

█████████

█████████ de ██████ ███, ██████ ████, ████████ a ███████ entre eles. Em █████████ com uma ██████ entre █████████, que é ████████████ uma ██████████ de ██████ a ████████, os █████████ de ██████ ██████ █████ ser ███████████ com as ██████████ ██████-███████ dos ██████ ███████████. Esta █████ é ███████ ███████ na █████████ a ██████.

█████ ${\mathcal {F}}$ e ${\mathcal {G}}$ ████ ██████ de █████████ (███████████████ ██████ █████████, █████, ███.) sobre $█$ . Um ████████ $\varphi :{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ :{\███████ {█}}\██ {\███████ {█}}} ████████ em um ████████ $\varphi _{U}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)$ de █████████ (███████████████ ██████ █████████, █████, ███.) para ████ ████████ ██████ $█$ de $█$ , ███████ à ████████ de que este ████████ ████ ██████████ com as ██████████. Em ██████ ████████, para ████ ███████████ ██████ $█$ de um ████████ ██████ $█$ , o ████████ ████████ é ██████████.

${\begin{array}{rcl}{\mathcal {F}}(U)&\xrightarrow {\quad \varphi _{U}\quad } &{\mathcal {G}}(U)\\r_{V}^{U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }{r'}_{V}^{U}\\{\mathcal {F}}(V)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{V}\quad }]{}}&{\mathcal {G}}(V)\end{array}}$

Por ███████, █████ a ████████ dá um ████████ de ██████ sobre $\mathbb {R}$ ,

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n-1}.$

De ████, ████ uma ██████ ( $█$ █████ █████████████ █████████████) $f:U\to \mathbb {R}$ (com $█$ ██████ em $\mathbb {R}$ ), a █████████ (a um ███████████ ██████ █████ $█$ ) de sua ████████ é █████ à ████████ de $f|_{V}$ .

Com esta █████ de ████████, ██████ de █████████ (███████████████ ██████ █████████, █████, ███.) em um ██████ ██████████ ████ $█$ ██████ uma █████████. As ██████ ███████████ ██████ de ████-, ███- e ████████████ █████, ████████, ser █████████ a ██████.

Na ███████, do █████ de █████ da ██████ das ██████████, a █████████ dos ██████ sobre uma █████████ (███████) $█$ com ███████ em █████ █████████ $█$ é uma ████████████ █████ da █████████ de ███-██████ sobre $█$ com ███████ em $█$ , que é ████████████ a █████████ $D^{C^{\text{op}}}$ de █████████ ███████████████ de $█$ para $█$ com ██████████████ ████████ entre eles como █████████: a █████ de ████████ ████████ █████ pode ser ████████████ ████████ como $\varphi$ █████ uma █████████████ ███████ entre os ████ ██████ ██████ como █████████.

Um ████████ $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ de ██████ sobre $█$ é um ███████████ (███████████████ ████████████) se e ███████ se para ████ ████████ ██████ $U\subseteq X$ , █████ um ███████████ ${\mathcal {F}}(U)\approx {\mathcal {G}}(U)$ que é ███████ com ████████ aos █████ de █████████. Essas ██████████ ███ ████████ de como █████████ com ██████ ██████ ███████████ ██████, mas é ██████████ █████ que ███ ███████ █████████ se um ████████ de ██████ é um ███████████ da █████ ███████. De ████, a █████████ de que os █████ no █████ de █████████ ███████ $\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {G}}(U)$ nem ██████ ███ ████████████ para ████████████ de ██████ é ███████████ à ███-████████ do ███████ de ██████ ███████ — ou ████████████████, à ███-████████████ da ███████████ de ██████.

██████ de um █████

A █████ ${\mathcal {F}}_{x}$ de um █████ ${\mathcal {F}}$ ███████ as ████████████ de um █████ "em █████" de um █████ $x\in X$ , █████████████ os ██████ de ███████. ████, "em █████" █████████ que, ███████████████ ███████, ████-se para ███████████ ████ ███ ███████ do █████. É █████ que ███████ ██████████ ██████████ ████ ███████ o ██████████, o que █████ ██████████ um ██████ de █████ ████. Mais ████████████, a █████ é ████████ por

${\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U),$

o ██████ ██████ █████ sobre █████ os ████████████ ███████ de $█$ ████████ o █████ ████ $█$ . Em ██████ ████████, um ████████ da █████ é ████ por uma █████ sobre ██████ ██████████ ██████ de $█$ , e ████ ████ ██████ ███ ████████████ ████████████ se suas ██████████ ███████████ em uma ██████████ █████.

O ████████ ███████ ${\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}_{x}$ ████ uma █████ $█$ em ${\mathcal {F}}(U)$ ao seu █████ $s_{x}$ em $█$ . Isso ██████████ a █████████ █████ de um █████.

Em ██████ █████████, ████████ as ██████ de um █████ é ██████████ para █████████ o ███████ █████. Por ███████, se um ████████ de ██████ é um ████████████, ███████████ ou ███████████ pode ser ███████ nas ██████. █████ ███████, um █████ é ███████████ por suas ██████, que ███ █████ ██████. Por █████ ████, a ██████████ ██████ ████████ em um █████, ou ████, as ██████ ███████, isto é, as ██████ ${\mathcal {F}}(X)$ em ████ o ██████ $█$ , ███████████ ████████ █████ ██████████. Por ███████, para uma █████████ ████████ ████████ $█$ , as ██████ ███████ do █████ de ███████ ██████████ ███ ██████ $\mathbb {C}$ , ████ ████████ ██████ █████████ $X\to \mathbb {C}$ é █████████ pelo ███████ de █████████.

█████████████ um ███-█████ em um █████

É ██████████████ ████ █████ os █████ ████████ em um ███-█████ e ████████-███ como um █████. ████████ que ██ a ██████ ███████ ████████ de █████ isso. Ela ████ um ███-█████ ${\mathcal {F}}$ e ██████ um ████ █████ $a{\mathcal {F}}$ ███████ de █████ █████████ ou █████ █████████ ao ███-█████ ${\mathcal {F}}$ . Por ███████, o █████ █████████ ao ███-█████ █████████ (████ █████) é ███████ de █████ █████████. ██████ de seu ████, suas ██████ ███ ███████ ██████████ ██████████.

O █████ $a{\mathcal {F}}$ pode ser ██████████ ██████ o ██████ █████ $E$ de ${\mathcal {F}}$ , ou ████, como o █████ de ██████ do ████

$E\to X.$

█████ ██████████ do █████ $a{\mathcal {F}}$ ███████ por ████ de um ███████ $█$ de ███-██████ para ███-██████ que ████████████ ███████ as ████████████ de um ███-█████: para ████████ ███-█████ ${\mathcal {F}}$ , $L{\mathcal {F}}$ é um ███-█████ ████████, e para ████████ ███-█████ ████████ ${\mathcal {F}}$ , $L{\mathcal {F}}$ é um █████. O █████ █████████ $a{\mathcal {F}}$ é ████ por $LL{\mathcal {F}}$ .

A █████ de que o █████ $a{\mathcal {F}}$ é a ██████ ███████████ ████████ para ${\mathcal {F}}$ por um █████ é ███████ ███████ ██████ a ████████ ███████████ █████████: ██████ um ████████ ███████ de ███-██████ $i\colon {\mathcal {F}}\to a{\mathcal {F}}$ ███ que para ████████ █████ ${\mathcal {G}}$ e ████████ ████████ de ███-██████ $f\colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ , ██████ um █████ ████████ de ██████ ${\tilde {f}}\colon a{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ███ que $f={\tilde {f}}i$ . De ████, $a$ é o ███████ ███████ à ████████ do ███████ de ████████ (ou ███████ ████████████) da █████████ dos ██████ para a █████████ dos ███-██████, e $█$ é a ███████ da ████████. █████ █████, a █████████ dos ██████ se █████ uma ████████████ de ██████ dos ███-██████. Esta ████████ ██████████ é a █████ pela qual o ███████ de █████ █████████ ███████ na ██████████ de █████████ de █████████ de ██████ ou ████████ ██████████ de ██████, mas ███ para ███████, por ███████.

█████████, ██████ ██████████

Se $█$ é um ████████ de um █████ $█$ de ██████ █████████, █████ o █████ █████████ $█$ é o █████ █████████ ao ███-█████ $U\mapsto F(U)/K(U)$ ; em ██████ ████████, o █████ █████████ se ███████ em uma █████████ █████ de ██████ de ██████ █████████;

$0\to K\to F\to Q\to 0.$

(isto ██████ é ███████ de ████████ de █████.)

█████ $█, █$ ██████ de ██████ █████████. O ████████ $\operatorname {Hom} (F,G)$ de █████████ de ██████ de $█$ para $█$ █████ um █████ ████████ (pela █████████ de █████ ████████ de $█$ ). O █████ ███ de $█$ e $█$ , ████████ por,

${\mathcal {Hom}}(F,G)$

é o █████ de ██████ █████████ $U\mapsto \operatorname {Hom} (F|_{U},G|_{U})$ onde $F|_{U}$ é o █████ sobre $█$ ████ por $(F|_{U})(V)=F(V)$ (████ que o █████ █████████ ███ é ██████████ ████). A ████ ██████ de $█$ e $█$ é o █████ ████ por $U\mapsto F(U)\oplus G(U)$ , e o ███████ █████████ de $█$ e $█$ é o █████ █████████ ao ███-█████ $U\mapsto F(U)\otimes G(U)$ .

█████ essas █████████ se ████████ a ██████ de ███████ sobre um █████ de █████ $A$ ; o █████ é o ████ ████████ quando $A$ é o █████ █████████ ${\underline {\mathbf {Z} }}$ .

███████████████ ██████

Como os █████ de um (███-)█████ ████████ dos ████████████ ███████ do ██████ ████, ██████ em ██████████ ███████ ███████████ ███ █████ ████████████ entre ██ no ███████ de que ███ ██ █████████ entre eles. No ███████, ████ um ████ ████████ $f:X\to Y$ entre ████ ███████ ███████████, o ███████████ e o ████████ ██████████ ██████ em $█$ com aqueles em $█$ e ████-█████.

██████ ██████

O ███████████ (██████ █████████ como ██████ ██████) de um █████ ${\mathcal {F}}$ sobre $█$ é o █████ ████████ por

$(f_{*}{\mathcal {F}})(V)={\mathcal {F}}(f^{-1}(V)).$

████ $█$ é um ███████████ ██████ de $█$ , de ████ que sua ███-██████ é ██████ em $█$ pela ████████████ de $█$ . Esta ██████████ ████████ o █████ ██████████ $S_{x}$ ██████████ █████:

$S_{x}=i_{*}(S)$

onde $i:\{x\}\to X$ é a ████████, e $█$ é ███████████ como um █████ sobre o █████████ por $S(\{*\})=S,S(\emptyset )=\emptyset$ .

Para um ████ entre ███████ ██████████ █████████, a ██████ ██████ com ███████ ████████ é um ████████ da ██████ ██████. Por █████████, $(f_{!}{\mathcal {F}})(V)$ ████████ ████████ $s\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))$ ████ ███████ é ███████ ████████████. Se $█$ é ███████, █████ $f_{!}{\mathcal {F}}=f_{*}{\mathcal {F}}$ , mas em █████ eles ███████.

██████ ███████

O ████████ ou ██████ ███████ ███ na █████ ███████: ██████ um █████ sobre $█$ , ████████ $f^{-1}{\mathcal {G}}$ a ██████ de um █████ ${\mathcal {G}}$ sobre $█$ . Se $█$ é a ████████ de um ███████████ ██████, █████ a ██████ ███████ é ██████ uma █████████, ou ████, é ████ por $(f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)$ para um ██████ $█$ em $█$ . Um █████ ${\mathcal {F}}$ (em █████ ██████ $█$ ) é ███████ de ██████████ █████████ se $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ para ██████ ████████████ ███████ $U_{i}$ ████ que a █████████ de ${\mathcal {F}}$ a █████ esses ████████████ ███████ é █████████. Em uma █████ ████ de ███████ ███████████ $█$ , ████ ██████ ███ ████████████ a ██████████████ do █████ ███████████ $\pi _{1}(X)$ .

Para █████ ██████ $█$ , a █████████ de $f^{-1}{\mathcal {G}}$ é mais ██████████; ela é █████████ em ███████ ██████ ███████. A █████ é um ████ ████████ █████████ do ████████ em █████ de uma █████████████ ███████, onde $█$ é como █████:

${\mathcal {G}}_{x}=i^{-1}{\mathcal {G}}(\{x\}).$

Mais ██████████, as ██████ ██████████ $(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}$ .

████████ por ████

Para a ████████ $j:U\to X$ de um ███████████ ██████, a ████████ por ████ $j_{!}{\mathcal {F}}$ (█████████-se "█ █████ ██████ de █") de um █████ ${\mathcal {F}}$ de ██████ █████████ sobre $█$ é o █████ █████████ ao ███-█████ ████████ por

$V\mapsto {\begin{cases}{\mathcal {F}}(V)&{\text{se }}V\subseteq U\\0&{\text{caso contrário.}}\end{cases}}$

Para um █████ ${\mathcal {G}}$ sobre $█$ , esta ██████████ é em █████ ███████ ████████████ a $i_{*}$ , onde $i:X\setminus U\to X$ é a ████████ do ███████████ de $█$ :

( █ ! █ ∗ █ ) █ = █ █ para █ em █ , e a █████ é ████ ████ █████████, ████████

( █ ∗ █ ∗ █ ) █ = █ para █ em █ , e é █████ a █ █ ████ █████████.

Mais ██████████, se $A\subset X$ é um ███████████ ██████████ ███████, █████ ██████ um ██████ $█$ de $█$ ████████ $A$ ███ que $A$ é ███████ em $█$ . █████ $f:A\to U$ e $j:U\to X$ as █████████ ████████. █████ a ████████ por ████ de um █████ ${\mathcal {F}}$ sobre $A$ é ████████ por $j_{!}f_{*}F$ .

██████ ao seu ███ █████████████ nas ██████, o ███████ ████████ por ████ é ████ para ███████ ████████ de ██████ dos ██████ em $█$ àquelas nas ███████████████ de uma ██████████████, ou ████, uma ████████████ de $█$ em ████████████ ███████ ██████████ ████████.

████████████

██████ em ██████████ mais ██████

████ dos (███-)██████ ████████████ █████, onde ${\mathcal {F}}(U)$ é █████████ um ████████, é em muitos █████ ██████████ ██████ o ████████ da █████████ █████████ sobre essas ██████. Por ███████, as ██████ do █████ de ███████ █████████ ██████ ████████████ um ██████ ████████ ████, e a █████████ é um ████ ██████ entre esses ███████ █████████.

███-██████ com ███████ em uma █████████ ██████████ $█$ ███ █████████ ████████ ████████████ a █████████ de █████████ ███████ em $█$ como a █████████ ███████ $O(X)$ █████ ███████ ███ os █████████ ███████ de $█$ e █████ █████████ ███ █████████. █████, um ███-█████ com ███████ em $█$ sobre $█$ é o mesmo que um ███████ ██████████████ de $O(X)$ para $█$ . █████████ █████ █████████ de █████████, ██████ ██████████ como ██████████████ ████████, ███ os ██████ que os █████████ █████████ █████, como pode ser █████ ███████████ as ██████████.

Se a █████████ ████ $█$ ██████ █████ os ███████, um ███-█████ com ███████ em $█$ é um █████ se o ████████ ████████ é um ███████████ para ████ █████████ ██████ ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ de ████████ ████████ ██████ $█$ :

$F(U)\rightarrow \prod _{i}F(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).$

████, o ████████ ████ é o ███████ dos █████ de █████████

$\operatorname {res} _{U_{i},U}\colon F(U)\rightarrow F(U_{i})$

e o ███ de █████ ███ os ████████ dos ████ █████████ de ██████████

$\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}\colon F(U_{i})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j})$

$\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}\colon F(U_{j})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j}).$

Se $█$ é uma █████████ ████████, esta ████████ ██████ pode ser ███████████ ████████ que ████ uma █████████ █████

$0\to F(U)\to \prod _{i}F(U_{i})\xrightarrow {\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}-\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}} \prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).$

Um ████ ██████████ █████ ████████ de █████ ██████ quando $█$ é o ████████ █████ e o ████████ de ███████ $█$ ██████ é █████. █████ ████, a ████████ de █████ █████ que ${\mathcal {F}}(\emptyset )$ ████ o ██████ ████████ em $█$ .

███████ ████████ e ██████ de ███████

Em ██████ ███████████ ███████████, █████████ █████████ █████████ e █████████ ███████████, os ███████ ███ ████████████ de um █████ ███████ de █████, ██████████████ ███████ de █████ ██████████ e ████████ por ${\mathcal {O}}_{X}$ . ███ ███ $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ é ███████ de ██████ ███████. Muitos █████ de ███████ █████ ser █████████ como ██████ █████ de ███████ ████████. █████████, █████ as ██████ ${\mathcal {O}}_{X,x}$ do █████ ██████████ ███ █████ ██████, ████ em que o ███ é ███████ de ██████ ██████████ ███████.

Por ███████, uma █████████ $C^{k}$ de ████████ $█$ , $█$ , é um ██████ ██████████ ███████ ████ █████ ██████████ ████████ de ███████ $C^{k}$ sobre os ████████████ ███████ de $█$ . A ███████████ de ser um ██████ ██████████ ███████ se ██████ no ████ de que ███ ██████, que é ███ ████ em um █████ $█$ , ██████ é ███ ████ em uma ██████████ ██████ ███████████████ ███████ de $█$ . ██████ ███████ █████████ ███████ ██████████ █████ (ou █████████) como ███████ ██████████ ████████ que ███ ██████████ █████████ ao ███ ███████████ de um ███████████ ██████ de $\mathbb {R} ^{n}$ (███████████████ $\mathbb {C} ^{n}$ ) ██████████ com o █████ de ███████ $C^{k}$ (███████████████ ██████████). Da █████ █████, ████████, a █████ ███████████ de ███████ em █████████ █████████, ███ ███████ ██████████ ████████ que ███ ██████████ █████████ ao ████████ de um ████.

████ um ██████ ███████, um █████ de ███████ é um █████ ${\mathcal {M}}$ ███ que em ████ ████████ ██████ $█$ de $█$ , ${\mathcal {M}}(U)$ é um ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ -██████ e para ████ ████████ de █████████ ███████ $V\subseteq U$ , o ████ de █████████ ${\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)$ é ██████████ com o ████ de █████████ ${\mathcal {O}}(U)\to {\mathcal {O}}(V)$ : a █████████ de $█ █$ é a █████████ de $█$ █████ a de $█$ para █████████ $█$ em ${\mathcal {O}}(U)$ e $█$ em ${\mathcal {M}}(U)$ .

A ███████ dos ███████ ███████████ ███████████ ███ ██████ de ███████. Por ███████, ██ uma ███████████████ █████████ entre ████████ █████████ e ██████ ██████████ ██████ de ${\mathcal {O}}_{X}$ -███████. Este █████████ se ██████ a ████████ █████████ █████, ████████ █████████ █████████ ou ████████ █████████ em █████████ █████████ (onde ${\mathcal {O}}$ ████████ de ███████ ██████, ███████ ██████████ ou ███████ █████████, ███████████████). ██████ de ████████ de ████████ ████████████ ███ $█$ -███████, isto é, ███████ sobre o █████ de ██████████ ████████████. Em ████████ ██████ ██████████, ███████ sobre o █████ █████████ ${\underline {\mathbf {Z} }}$ ███ os ██████ que ██████ de ██████ █████████ no ███████ █████.

██ um ███████ de ██████ ███████ █████████ para ██████ de ███████ sobre ██████ de █████. Este ███████ é ██████████ ████████ por $f^{*}$ e é ████████ de $f^{-1}$ . ████ ███████ ██████ ███████.

█████████ de ████████ para ██████ de ███████

█████████ de ████████ para ███████ sobre █████ ███████████ ███ ██████ a █████████ de ████████ ███████████ para ██████ de ███████: ${\mathcal {M}}$ é ███████ ███████████ ██████ (███████████████ ███████████ ███████████) se, para ████ █████ $█$ de $█$ , ██████ uma ██████████ ██████ $█$ de $█$ , um ██████ ███████ $█$ (█████████████ ██████████ de $█$ ) e um ████████ ██████████ de ██████ ${\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}$ (███████████████, ████ █████, um ██████ ███████ $█$ e uma █████████ █████ ${\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}\to 0$ ). █████████████ à █████ de ██████ ████████, ${\mathcal {M}}$ é ███████ de █████ ████████ se é de ████ ██████ e se, para ████ ████████ ██████ $█$ e ████ ████████ de ██████ $\phi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}\to {\mathcal {M}}$ :{\███████ {O}}█{█}^{█}\██ {\███████ {█}}} (███ ███████████████ ██████████), o ██████ de $\phi$ é de ████ ██████. ${\mathcal {O}}_{X}$ é ████████ se é ████████ como ██████ sobre ██ mesmo. Como para ███████, █████████ é em █████ uma ████████ ████████████ mais █████ do que ████████████ ██████. O ███████ de █████████ de ███ ██████ que o █████ de ███████ ██████████ em uma █████████ ████████ é ████████.

O ██████ █████ de um █████

Nos ████████ █████, █████-se que ██████ ██████ ███████ ████████████ como ██████ de ██████. De ████, █████ os ██████ de █████████ █████ ser █████████████ como ██████ de ██████ de um ██████ ██████████ ███████ ██████ █████, da ███████ ████████ ██, ████████████ ███████████████ "█████████". Se $F\in {\text{Sh}}(X)$ é um █████ sobre $█$ , █████ o ██████ █████ (às █████ ███████ de ██████ █████) de $█$ é um ██████ ██████████ $E$ ██████████ com um █████████████ █████ $\pi :E\to X$ ███ que o █████ de ██████ $\Gamma (\pi ,-)$ de $\pi$ é $█$ . O ██████ $E$ é ██████████ muito ████████, e mesmo que o █████ $█$ █████ de uma ████████ ██████████ ███████, $E$ pode ███ ███ ████████ █████████████ ██████████ █████. Por ███████, se $█$ é o █████ de ██████ de uma ██████ ████████ $f:Y\to X$ , █████ $E=Y$ se e ███████ se $█$ é um █████████████ █████.

O ██████ █████ $E$ é ██████████ a ██████ das ██████ de $█$ sobre $█$ . Como ████████, é sua █████ ████████ e $\pi$ é o ████ █████ que ██████ o █████ $█$ na █████ de $█$ sobre $x\in X$ . A █████████ de $E$ é ████████ como █████. Para ████ ████████ $s\in F(U)$ e ████ $x\in U$ , ███████ um █████ de $█$ em $█$ , ████████ por $[s]_{x}$ ou $s_{x}$ . Esses ██████ ██████████ ██████ de $E$ . Para ████████ $█$ e $s\in F(U)$ , a █████ ██████ ██████ (para █████ $x\in U$ ) é █████████ como █████ ██████ em $E$ . ███████ que ████ █████ tem a █████████ ████████ como █████████ de █████████. Um ████████ entre ████ ██████ █████████ um ████ ████████ dos ███████ █████ ███████████████ que é ██████████ com os █████ de ████████ (no ███████ de que ████ █████ é ███████ para um █████ sobre o mesmo █████). Isso █████ a ██████████ em um ███████.

A ██████████ █████ █████████ uma ████████████ de ██████████ entre a █████████ de ██████ de █████████ sobre $█$ e a █████████ de ███████ █████ sobre $█$ . A ██████████ de um ██████ █████ ██████ pode ser ████████ a um ███-█████, ████ em que o █████ de ██████ do ██████ █████ ████████ o █████ █████████ ao ███-█████ ████.

Esta ██████████ █████ █████ os ██████ em █████████ ██████████████ em ██████ ██████████ de ███████ ███████████. Como █████, ████ $█$ um █████ sobre $█$ , ████ $E$ seu ██████ █████, e ████ $\pi :E\to X$ a ████████ ███████. █████████ a ██████████████ ${\text{Top}}/X$ de ███████ ███████████ sobre $█$ , ou ████, a █████████ de ███████ ███████████ ██████████ com █████ █████████ █████ para $█$ . ████ ██████ █████ █████████ é um ████ ████████ $f:Y\to X$ , e um ████████ de $Y\to X$ para $Z\to X$ é um ████ ████████ $Y\to Z$ que ██████ com os ████ █████ para $█$ . ██ um ███████

█ : ███ / █ → ████ :{\████{███}}/█\██ {\████{████}}}

████████ um ██████ $f:Y\to X$ para $f^{-1}F(Y)$ . Por ███████, se $i:U\hookrightarrow X$ é a ████████ de um ███████████ ██████, █████

█ ( █ ) = █ − █ █ ( █ ) = █ ( █ ) = █ ( █ , █ )

e para a ████████ de um █████ $i:\{x\}\hookrightarrow X$ , █████

█ ( █ ) = █ − █ █ ( { █ } ) = █ | █

é a █████ de $█$ em $█$ . ██ um ███████████ ███████

( █ − █ █ ) ( █ ) ≅ ███ █ o █ / █ ⁡ ( █ , █ ) ,

que ██████ que $\pi :E\to X$ (para o ██████ █████) ██████████ o ███████ $\Gamma$ .

$E$ é ██████████ de ████ que o ████ de ████████ $\pi$ ████ um ████ de ████████████. Em █████████ █████████, o ███████ ███████ de um ████ de ████████████ é ███████ de ████████ █████. ██████ de sua ██████████ com "█████", a ███████ █████ ██ tem um ███████████ █████████ em ███████. É ████████ ███████████ $E$ em um ███████ e $\pi$ em um ████████ de ████████ de ███ █████ que $\pi$ ███████ a █████ ███████████ █████████, mas $\pi$ ███ é em █████ um ████████ █████ ██████ ███ é █████-██████. É, no ███████, ███████████ █████.

A █████████ de ██████ por ███████ █████ é mais ██████ do que a █████████ ████ █████████████ no ██████. Ela █████ é █████ em ███████ █████ da ██████████, como a ███████ ██████████.

███████████ de ██████

Em █████████ onde o ████████ ██████ $█$ é ████ e o █████ é ███████████ como uma ████████, o ████████ $F(U)$ ██████ é ██████████████ ████████ por $\Gamma (U,F).$

Como foi █████████ █████, este ███████ ███ ████████ ████████████. Em ███ █████, um ███████████ de ██████ ${\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ é um ████ com a ████████ ███████████: para ████████ █████ $g\in {\mathcal {G}}(U)$ , ██████ uma █████████ ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ onde

█ = ⋃ █ ∈ █ █ █

de ████████████ ███████, ███ que as ██████████ $g|_{U_{i}}$ █████ na ██████ de ${\mathcal {F}}(U_{i})$ . No ███████, $█$ ███ ███████ █████ na ██████ de ${\mathcal {F}}(U)$ . Um ███████ ████████ █████ ████████ é o ████ ███████████

${\mathcal {O}}{\stackrel {\exp }{\to }}{\mathcal {O}}^{\times }$ entre o █████ de ███████ ██████████ e ███████ ██████████ ███ █████. Este ████ é um ███████████, o que ████████ a █████ que ████████ ██████ █████████ ███ ████ $█$ (em █████ ███████████ ██████ em $\mathbb {C}$ , ███████) ██████ um █████████ ████████ ██████████, isto é, ████ ██████████ $█$ a ████████████ ███████ ███████████. No ███████, $█$ ███ ███████ ███ um █████████ ███████████.

A ███████████ de ██████ ███████ este ████████. Mais ████████████, para uma █████████ █████ de ██████ de ██████ █████████ $0\to {\mathcal {F}}_{1}\to {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}\to 0,$ (ou ████, um ███████████ ${\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}$ ████ ██████ é ${\mathcal {F}}_{1}$ ), ██ uma █████ █████████ █████ $0\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{1})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{2})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{2})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{2}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to \dots$ Por ████ █████ █████████, o ████████ █████ de ███████████ $H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})$ é uma ██████ para a ███ ███████████████ do ████ entre as ██████ de ${\mathcal {F}}_{2}$ e ${\mathcal {F}}_{3}$ .

███████ ██████ ████████ ██████████ de █████████ a ███████████ de ██████. ████████████ (████) os ██████████ █████████ a ███████████ de ██████ como o ███████ ████████ de $\Gamma$ . Este ██████ é ████████████ ████████████, mas, por ser ███████ em ██████████ █████████, de █████ █████████ em ████████ █████████. As ██████████ de ████████ ███ █████ █████████ █████, mas ████████████ ███████████.

██████████ a ███████████ de ██████

█████████████ no ████████ de ██████ em ██████████, a ███████████ de ██████ pode ██████████████ ser █████████ ██████ ██████████ por ██████ ██████, ██████ █████ e ██████ ████████ (██████ ██████████ como ██████ ████████ do ███████ ███████ que █████████ ███████). Por ███████, um █████████ de ████████ da ███████ ██████ que o █████ de ███████ ██████ em uma █████████ é █████. Os ██████ de ███████████ ██████████ $H^{i}(U,{\mathcal {F}})$ para $i>0$ se ██████ para ██████ ██████, o que ███████ uma ███████ de ████████ a ███████████ de ██████ ██████. Por ███████, o ████████ de De ████ é uma █████████ do █████ █████████ ${\underline {\mathbf {R} }}$ em ████████ █████████ █████, ████████, a ███████████ de ██████ de ${\underline {\mathbf {R} }}$ é █████ à sua ███████████ de De ████.

Uma █████████ █████████ é a ███████████ de ████. A ███████████ de ████ foi a ████████ ██████ de ███████████ ████████████ para ██████ e é ███ ████████ para ████████ █████████, como o ███████ da ███████████ de ██████ █████████ do ██████ █████████ ████████ $\mathbb {P} ^{n}$ . Ela █████████ ██████ em ████████████ ███████ do ██████ a ███████ de ███████████ no ██████. Na ███████ dos █████, a ███████████ de ████ ███████ os ██████ ██████ de ███████████ que a ███████████ do ███████ ████████. No ███████, para ██████ ███████ ███████████, a ███████████ de ████ █████████ o $H^{1}$ ███████, mas ██████ de ███████████ ██████████ ██████████. Para █████████ isso, ████-█████ ███████ ███████████ os ██████████████████. Os ██████████████████ ███ ██████ ████████ os ██████ de ███████████ ██████████ ████████, mas ██████ ████████ que os ████████████ ███████ ███████████ █████ █████ ████████████ por ██████ █████████ de █████ ██████. Essa █████████████ é ██████████ em ███████ ██████████, como a ██████████ das ██████████ de █████ ██████ de ██████ ███████.

Muitos ██████ ██████ de ███████████ de ██████ █████████ ███ ███████████ ██████ uma ███████ $i:X\hookrightarrow Y$ de um ██████ $█$ em um ██████ com ███████████ █████████, como $\mathbb {P} ^{n}$ , ou █████ ██████ █████████ █████████. █████ █████, os ██████ de ███████████ de ██████ ██████████ ██████ ███████ █████████ █████ ser ████████████ aos ██████ $i_{*}{\mathcal {F}}$ , █████ $H^{i}(Y,i_{*}{\mathcal {F}})\cong H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ . Por ███████, o ███████ da ███████████ de ██████ █████████ de ██████ ██████ ██████████ é ██████████ ██████████. Um ██████ ███████ █████ ██████ é a ████████████ de █████ ██████████ ██████ uma █████████ █████████ █████████ a ██████ de ███████████ de ██████, ███████ por ███████. ██████████████, a ██████ $E_{1}$ com ██████

E █ █ , █ = █ █ ( █ , █ █ █ )

a ███████████ de ██████ de uma █████████ █████████ █████ $█$ , ████████, ou ████, $E_{1}=E_{\infty }$ . Isso ███████ a █████████ de █████ ████████ nos ██████ de ███████████ $H^{k}(X,\mathbb {C} )$ . Mais █████, █████████-se que esses ██████ de ███████████ █████ ser ██████████ ██████████ ██████████████ ██████ ████████ de █████████. ████ █████ █████████. Esses █████ de ████████ █████ a um dos ████████ mais █████████ sobre a ███████████ de ██████████ ██████████, o ███████ da ████████████, ███████ ███████ para os ███████ de █████ ██████.

█████ █████████ █████ para o ███████ de ██████ ██████ de ███████████ é o ███████ de █████–████–████, que ██████████ os ██████ de ███████████ de ██████ ████████ de █████ em ██████████ de ████████ com ██████████████ ████████████ de ██████ de ███. Este ███████ pode ser █████, por ███████, para ████████ ██████████ os ██████ de ███████████ de █████ os ████████ de █████ no ██████ █████████ e nas ██████████ de █████████.

Em muitos █████, ██ uma ██████ de █████████ para ██████ que ██████████ a █████████ de ████████. ████ █████████ de ████████████ e █████████ de ███████.

██████████ █████████ de ██████

A █████████ ████████ da █████████ de ██████ de, ███████, ██████ █████████ em █████ ██████ █, ████████ ████ por $D(X)$ , é o ███████ ██████████ para a ███████████ de ██████, em ███████ da ████████ ███████: $H^{n}(X,{\mathcal {F}})=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} ,{\mathcal {F}}[n]).$ A ████████ entre $f^{-1}$ , que é o ███████ à ████████ de $f_{*}$ (██ no █████ de ██████ de ██████ █████████), dá ██████ a uma ████████ $f^{-1}:D(Y)\rightleftarrows D(X):Rf_{*}$ (para $f:X\to Y$ ), onde $Rf_{*}$ é o ███████ ████████. Este ██████ ███████ ███████ a █████ de ███████████ de ██████, ████ $H^{n}(X,{\mathcal {F}})=R^{n}f_{*}{\mathcal {F}}$ para $f:X\to \{*\}$ .

█████ como $f_{*}$ , a ██████ ██████ com ███████ ████████ $f_{!}$ ██████ pode ser ████████. Em ███████ do ████████ ███████████, $Rf_{!}{\mathcal {F}}$ ███████████ a ███████████ com ███████ ████████ das ██████ de $█$ : $(R^{i}f_{!}{\mathcal {F}})_{y}=H_{c}^{i}(f^{-1}(y),{\mathcal {F}}).$ Este ███████████ é um ███████ de um ███████ de ███████ de ████. ██ █████ ████████ $Rf_{!}:D(X)\rightleftarrows D(Y):f^{!}.$ Ao █████████ de █████ os █████████ ████████████ █████, o ███████ de ██████ ███████ ███████ (ou ███████████) $f^{!}$ é em █████ ████████ ██████ no █████ de ██████████ █████████, ou ████, o ███████ ███ é ██████ como o ███████ ████████ de █████ ███████ entre ██████████ █████████. Se $f:X\to \{*\}$ e █ é uma █████████ ██████████ █████ de ████████ █, █████ $f^{!}{\underline {\mathbf {R} }}\cong {\underline {\mathbf {R} }}[n].$ Este ███████ e a ███████████████ dos █████████ com a █████████ (████ █████████ de ███████) █████ ser ██████ para █████ uma ██████████ ███████████ da █████████ de ████████. No ████████ de ██████ █████-█████████ em ████████, ██ uma █████████ ██████████ █████████ como █████████ ████████.

██████ █████████ ███ ██████ ███████ em $D(X)$ , ou ████, █████████ de ██████ (mas ███ em █████ ██████ ████████████ █████). Eles ███ uma ██████████ ██████████ para ███████ a █████████ de ██████████████.

██████████ █████████ de ██████ █████████ e o █████ de ████████████

█████ █████████ ██████████ das ██████████ █████████ de ██████ é com a █████████ ████████ de ██████ █████████ em um ███████ $█$ , ████████ por $D_{Coh}(X)$ . Isso foi █████ por ████████████ em seu ███████████████ da ██████ de ██████████ ██████ ██████████ █████████ e █-██████, onde o ███████ de ██████████ de ███████████ $Y_{1},Y_{2}$ é ████████████ na █-██████ como

$[Y_{1}]\cdot [Y_{2}]=[{\mathcal {O}}_{Y_{1}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{Y_{2}}]\in K({\text{Coh(X)}})$

onde ${\mathcal {O}}_{Y_{i}}$ ███ ██████ █████████ █████████ pelos ${\mathcal {O}}_{X}$ -███████ █████ por seus ██████ ███████████.

███████████

████████████

██████, ████ E. (████). █████ ██████. ███: ████████ █████ ██ ███████████. ███ ███ ██. [█.█.]: ████████. ████ ███-█-███-█████-█. ██ ███████ (█████████ para ██████████ ███████████ █████████████)
de ███████, ██████ ████; ██████████, ████ (████). «████ ██ a ████████ █████?» (███). ███████ ██ ███ ████████ ████████████ ███████. ██ (█): ███–█. ███████:█████████████.█████. ██ ███████. █████:████.████
████████, █████ (████). █████████ ██████████ ██ ███████ ███ █████████. █████: ███████. ████ ██████████. ██ ███████
████████████, █████████ (████). «███ ████████ ██████ █'███████ ███████████». ███ ██████ ████████████ ███████. ██████ ██████. █ (█): ███–███. ████ ████-████. ██ ███████. ███:██.████/███/██████████
██████████, █████████ (████). ███████████ ███████ ██ █████████ ████████. ███: ████████ ██ ███████████. [█.█.]: ████████. ████ ███-█-███-█████-█. ██ ███████ (██████ ██████████ de um ████████ que ███ ██████ ██████████ de ██████ para ███████ seu █████.)
███████, ██████ (████). ██████████ ██ ███████. ███: ████████████. [█.█.]: ████████. ████ █-███-█████-█. ██ ██████. ███:██.████/███-█-███-█████-█
█████████, ██████; ████████, ██████ (████). ███████ ██ █████████. ███: ███████████ ███ ██████████████ ██████████████ [███████████ ██████████ ██ ████████████ ████████]. ███. [█.█.]: ████████. ████ ███-█-███-█████-█. ██ ███████ (████████ █████████ como a █████████ ████████ e os ██████ ████████████ nos ███████ mais █████████.)
███ ████, ████████; ████████, ████ (████). ███████ ██ ████████ ███ █████: A █████ ████████████ ██ █████ ██████. ███: ████████████. [█.█.]: ████████-██████. ████ ███-█-███-█████-█. ██ ███████ (██████ das ██████████ e █████ ███████████.)
██████, ███████ █.; █████, ██████-████; ███████, █████ (████). «██████████ ██████ ██ ███ ██████ ██████ █████████, ███████ ███████ █████████». ████████ ██ ███ ████████ ████████████ ███████. ██ (█): ██–███. ████ ████-████. ██ ███████. ███:██.████/█████-████-████-█████-█
███████, █. (████). ██████ ████████. ███: ████████ ███████ ██ ███████████. ██. [█.█.]: ████████ ████████████ ███████. ████ █-████-████-█. ██ ███████. ███:██.████/███/███
███████, █. ██████; ███████, █████ A.; █████, ████ A. (████). «████ ██ a █████». ████████ ████████████ ███████. ██ (█): ███–███. ██ ███████. ███:██.████/████████.████.████████
█████, ████-██████ (████). «█████████ ███████████ █████████» (███). ██████ ██ ███████████. ██████ ██████. ██ (█): ███–███. ████ ████-████. █████ ███████. ██ ███████. ███:██.████/███████
████, ███████ █. (████). ███ ██████ ██ ███████. ███: ███████ ████████ ██ ███████████ █ ██. [█.█.]: ██████████ ██ ███████ █████. ████ █████████████ (█████ de ████ ████████.)
████████, █████ █. (████). █████ ██████. ███: ██████ ████████████ ███████ ███████ ████ ██████. ██. [█.█.]: █████████ ██████████ █████. ████ ███-█-███-█████-█. ██ ███████ (██████████ ██████████)
██████, ██████ (████). █████ ██████ ███████ ████████. █████████, █████████████: [█.█.] ████ ███-█-███-█████-█. ████ ██████████. ███:██.████/████████/█████.███.████ (█████ ████████████ com ██████ ██████.)